Lício Hernanes Bezerra
Matemática/UFSC

Em geral, vemos pela primeira vez, em Análise Combinatória, a prova de que k! divide n(n – 1) (n – 2) ... (n – k + 1), 1 k n, ao escrever a fórmula das combinações

Cn,k = .

Visto fora desse contexto, não é óbvio que k!, 1 k n, sempre divide o produto n(n – 1) (n – 2) ... (n – k + 1). Então, um dia, na sala de aula, explicando o Princípio da Indução, resolvi provar por indução a proposição:

Proposição

Para todo número natural n 1, k! divide n(n – 1) (n – 2) ... (n – k + 1) para todo 1 k n.

Prova (por indução em n):

Para n = 1, temos k =1 e 1! divide 1. Suponhamos que a proposição é verdadeira para algum n 1. Vamos mostrar que a sua versão para n + 1 também é verdadeira. Bem, para k = 1 ou k = n + 1, a proposicão é claramente verdadeira. Considere, então, algum natural k tal que 2 k n. Logo,

(n + 1)n(n – 1) (n – 2) ... (n + 1 – k + 1) = n(n – 1) (n – 2) ... (n – k + 2) (n +1) =
n(n – 1) (n – 2) ... (n – k + 2) [(n– k + 1) + k] =
n(n – 1) (n – 2) ... (n – k + 2) (n – k +1) + kn(n – 1) (n – 2) ... (n – k + 2).

Note que pela hipótese de indução, a primeira parcela dessa expressão é um múltiplo de k!. Na segunda parcela, o produto
n(n – 1) (n – 2) ... (n – k + 2) é igual a n(n – 1) (n – 2) ... [n – (k – 1) + 1]; logo,
também pela hipótese de indução, é divisível por (k – 1)!. Então
kn(n – 1) (n – 2) ... (n – k + 2) é divisível por k!.

Portanto, (n + 1)n(n – 1) (n – 2) ... (n + 1 – k + 1) é múltiplo de k!.

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CURIOSIDADE: MATRIZES MÁGICAS COM PRODUTOS

São bem conhecidos quadrados mágicos envolvendo somas: As somas dos elementos de uma linha, de uma coluna ou de uma diagonal são todas iguais a 15 (RPMs 39, 41 e 48).

Escolhendo-se quaisquer quatro números de linhas e colunas distintas, as somas são todas iguais a 34. Exemplo: 5 + 10 + 15 + 4 = 34. (RPM 59) O quadrado é formado por elementos em PA - no caso ao lado, de razão 1.

Será que existem quadrados mágicos nos quais os produtos de elementos escolhidos são todos iguais? A resposta é sim, e os exemplos abaixo mostram como construí-los. O primeiro exemplo é baseado no primeiro quadrado acima e os outros dois no segundo quadrado acima. Como o leitor poderá observar, as construções se baseiam na igualdade ax . ay = ax + y.

Produtos = 215 24 29 22 23 25 27 28 21 26

Produtos = 54 . 334 531 532 533 534 535 536 537 538 539 5310 5311 5312 5313 5314 5315 5316

Produtos = a3 . b27 ab1 ab3 ab5 ab7 ab9 ab11 ab13 ab15 ab17

Enviado por Rogério Cesar dos Santos.