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osé Querginaldo Bezerra
Depto. de Matemática - UFRN

O teorema de Pitágoras é sem dúvida o teorema mais “popular” entre os estudantes do ensino básico. Apesar de existirem mais de 370 demonstrações diferentes (RPM 02), poucos sabem demonstrá-lo, embora muitos saibam seu enunciado. Sua popularidade deve-se a sua vasta utilização em aplicações, não só em Matemática, mas em várias áreas do conhecimento.

Inspirado no cartaz da OBMEP 2012, coloco a seguinte questão: Existe uma extensão natural do teorema de Pitágoras no espaço?

Uma extensão conhecida para uma figura tridimensional é a relação entre as arestas e a diagonal de um paralelepípedo retângulo, como mostra a figura abaixo.

Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos retângulos ABC e ACH, obtemos a2 + b2 + c2 = d2, ou a soma dos quadrados das arestas que se intersectam em um dos seus vértices é igual ao quadrado da diagonal. Embora esse enunciado seja semelhante ao do teorema de Pitágoras, ele não envolve outros elementos do paralelepípedo, por exemplo, as suas faces.

A intuição sugere que um resultado no espaço, similar ao teorema de Pitágoras, deve envolver um tetraedro com um triedro trirretangular, em analogia ao ângulo reto do triângulo retângulo, como mostra a figura 1.

figura 1

A primeira tentativa nos leva a uma relação entre as arestas que compõem o triedro trirretangular e as arestas da face oposta.

De fato, se a, b, c, x, y e z são as medidas dessas arestas, a aplicação do teorema de Pitágoras nas faces que são triângulos retângulos nos conduz o seguinte resultado:

x2 + y2 + z2 = 2(a2 + b2 + c2).

O enunciado desse resultado, no entanto, além de não relacionar as faces do tetraedro, assim como no caso do paralelepípedo, não possui a mesma forma do teorema de Pitágoras.

Como segunda tentativa, buscaremos encontrar uma relação envolvendo as áreas das faces do tetraedro. O resultado a seguir é verdadeiro:

Teorema

Antes da demonstração, um comentário: O enunciado pode ser considerado uma extensão do teorema de Pitágoras para poliedros. As faces laterais do tetraedro fazem o papel dos catetos do triângulo retângulo e a face oposta ao triedro trirretangular corresponde à hipotenusa do triângulo.

Demonstração do teorema

Sejam S(ABC), S(ABD), S(ACD) e S(BCD) as áreas dos triângulos ABC, ABD, ACD e BCD, respectivamente.

Como na figura 1, x, y, z, a, b e c são as medidas das arestas AB, BC, AC, AD, BD e CD, respectivamente. Então,

S(ABD) = , S(BCD) = , S(ACD) = ,

já que os triângulos são retângulos. Pela fórmula de Heron S(ABC) = , sendo p = .

Elevando essas áreas ao quadrado, obtemos:

S(ABD)2 = , S(BCD)2 = , S(BCD)2 = e S(ABC)2 = p(p – x)(p – y)(p – z).

Substituindo o valor de p, ficamos com

S(ABC)2 = =

= [(x+ y + z) (x+ y − z)][(y + z − x)(x + z −y)].

= (x2 + 2xy + y4 − z2) (2xy − x2− y2 + z2).

= (−x4 + x2y2 − y4 + 2y2z2 + 2x2z2 − z4).

Como x2 = a2 + b2, y2 = b2 + c2 e z2 = a2 + c2, segue que

S(ABC)2 = (4a2b2 + 4a2c2 +4b2c2). Ufa! Quantos cálculos!

Logo, S(ABC)2 = = S(ABD)2 + S(BCD)2 + S(ACD)2.

Nota da RPM

No capítulo 4, p. 80, do livro Temas e problemas elementares, Coleção do Professor de Matemática (Elon Lages Lima e outros), publicação da SBM – Sociedade Brasileira de Matemática, está uma demonstração do resultado final deste artigo, sem utilizar a fórmula de Heron. No livro, após a demonstração, há uma nota afirmando que o resultado é mais geral: “se uma figura plana qualquer é projetada em três planos perpendiculares dois a dois, o quadrado da área dessa figura é igual à soma dos quadrados das áreas das três projeções".