Ubirajara Favilli

Introdução
A extensão das funções trigonométricas para ângulos maiores que ou iguais a costuma ser explorada por meio da circunferência trigonométrica. Nesse contexto, uma ilustração muito usada por professores para a construção da ideia de que cada ponto da circunferência é imagem de infinitos números reais da reta é a de “enrolar” a reta real na circunferência. Neste artigo, apresento um artefato que utilizo em aulas de trigonometria, explorando essa mesma ideia, porém sob outro ponto de vista, o de “desenrolar” a circunferência na reta real. Tal artefato tem se mostrado útil como recurso didático para o ensino de equações e inequações trigonométricas.

O artefato

O artefato consiste em um disco de madeira de 0,5 cm de espessura e 16 cm de raio, com um furo de 2 mm no centro e dois diâmetros perpendiculares marcados com caneta. Na circunferência do disco colamos uma tira de borracha – um pedaço de câmara de ar de pneu.

O artefato em uso

Vejamos um exemplo de uso desse disco na visualização do conjunto solução da equação sen x = em .

Desenhamos na lousa um par de eixos cartesianos ortogonais, um círculo do tamanho do disco de madeira, centrado na origem, e marcamos os pontos A, M e N como na figura. O ponto A representa a origem dos arcos.

Em seguida, marcamos os pontos A, M e N no disco de madeira e colocamos uma gota de tinta a óleo, na borracha em volta do disco, em cada um dos pontos M e N.

No passo seguinte, fixamos na lousa, com fita adesiva, uma série de folhas brancas de papel nas quais marcamos uma reta ordenada e sua origem. Agora o disco deverá “rolar sem escorregar” em cima da reta marcada no papel. Esse procedimento pode ser feito com o auxílio de um prego passando pelo orifício do disco, que será segurado por uma mão de cada lado.

Girando o disco em sentido horário e anti-horário sobre a reta, as soluções - ..., da equação senx = serão “carimbadas” na reta real. Como o intervalo entre dois “carimbos” consecutivos de M é 2p (o mesmo acontecendo para dois “carimbos” consecutivos de N), segue que a solução dessa equação é
S = {x /x = + k2p ou x = + k2p, k }.

Vale ainda observar que o artefato permite que se apresente aos alunos a belíssima curva que os pontos M e N descrevem no plano que contém a circunferência trigonométrica, a cicloide (ver RPM 59). Para o ponto M tem-se:

Pode-se dizer, então, que as soluções em da equação sen x = 1/2 são todos os números reais associados aos pontos da reta onde as cicloides geradas pelos pontos M e N interceptam a reta real.

Para visualizar a solução de inequações trigonométricas em por meio do artefato, basta pintar com tinta sobre a borracha os arcos correspondentes à solução na primeira volta. Por exemplo, veja a resolução da inequação cosx > −:

Repetimos o processo, e aparecem “carimbados” na reta real os segmentos correspondentes aos intervalos abertos de números reais que são soluções da inequação:

ou seja, S = {x / − + k2p < x < + k2p, k }.

Respostas dos probleminhas...

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