Valdair Bonfim
Lúcia Resende Pereira
Universidade Federal de Uberlândia

À guisa de motivação

É conhecido que a representação decimal de um número racional é finita ou infinita periódica. Abaixo segue uma lista de números racionais cujas frações geratrizes têm denominadores não divisíveis por 3. Pedimos ao leitor que preste atenção na parte periódica da representação decimal desses números.

Dá para perceber alguma coisa a respeito da parte periódica?

Se você ainda não percebeu, olhe para mais um exemplo:

= 0,12 351 351 351 351 351...

Observe que as partes periódicas são, respectivamente, 142857, 09, 54 e 351, e todas são divisíveis por 9. Claro que poderia ser uma simples coincidência, mas, ao considerarmos uma quantidade suficientemente grande de outras frações com denominadores não divisíveis por 3, veremos que a parte periódica de cada uma delas também é divisível por 9, o que nos leva a desconfiar de que isso não é mera coincidência.

A parte periódica é sempre divisível por 9?

Vejamos. Consideremos um número racional x cuja representação decimal seja infinita e periódica. Suponhamos inicialmente que x = , com 0 < m < n, m e n inteiros, n não divisível por 3. A representação decimal de x é da forma x = 0, a1 ... aj , onde a1, ..., aj, b1, ..., bk são os dígitos da parte não inteira, com uma barra indicando a sequência de dígitos que se repete indefinidamente. Temos então que:

(1)   10j x = a1 ... aj, (2)   10k + j x = a1 ... aj b1 ... bk,.

Como a parte não inteira dos dois últimos números é a mesma, ao subtrairmos (1) de (2) obtemos:

(3)   (10k + j - 10 j)x = a1 ... aj b1 ... bk - a1 ... aj.

Chamemos R = b1 ... bk e N = a1 ... aj. Observe que não se trata do produto dos algarismos a1, ... , aj e nem dos b1, ... , bk, mas dos números inteiros N e R formados por tais algarismos. No caso da fração = 0,12351351... , temos N = 12 e R = 351. Com essa notação, a igualdade (3) pode ser reescrita como

Lembrando que x = , ficamos com (10k - 1)[10j() - N] = R.

Multiplicando ambos os membros por n, obtemos

(10k - 1)[10 jm -nN] = nR.

Sendo 10k - 1 um inteiro múltiplo de 9, segue da igualdade acima que nR é um múltiplo de 9. Como, por hipótese, n não é divisível por 3, então 32 aparece na fatoração em primos de R, ou seja, a parte periódica de x é divisível por 9, como queríamos provar.

No caso em que x = m/n com m > n, efetuamos a divisão euclidiana obtendo inteiros q e r tais que m = qn + r e 0 < r < n, de onde segue que x = = q + . Sendo q inteiro, as partes periódicas de x e r/n são iguais. Visto que r < n, utilizamos o que já foi provado para concluir que, se n não é divisível por 3, a parte periódica de r/n e, portanto, a parte periódica de x, é divisível por 9. A prova agora está completa.

Observação 1: O que provamos é também verdadeiro para números racionais cuja representação decimal é finita, desde que interpretemos essa representação finita como infinita, com uma infinidade de zeros. Nesse caso a parte periódica é 0, que é divisível por 9.

Observação 2: A condição “n não divisível por 3” é suficiente, mas não é necessária. De fato, na fração abaixo, o denominador é divisível por 3, mas, mesmo assim, a parte periódica é divisível por 9:

= 0,15342342342...

Comentários finais

Contrário a uma ideia comum entre alguns alunos e professores de que as demonstrações em geral são complicadas e técnicas demais, chegando-se ao ponto de serem evitadas em sala de aula, vimos que a coisa não é bem assim, principalmente pelo fato de a prova de nossa conjectura ter sido baseada num procedimento difundido em sala de aula para a obtenção da fração geratriz de uma dízima.

O fato de saber que a parte periódica de frações com denominador não divisível por 3 é divisível por 9 não tem nada de extraordinário, mas ao provar isso o professor cria oportunidade para revisitar tópicos importantes ensinados em outras situações, como o algoritmo da divisão euclidiana e o Teorema Fundamental da Aritmética, segundo o qual todo número natural pode ser decomposto num produto de fatores primos, de maneira única a menos da ordem dos fatores. Além disso, dá-se ao aluno a chance de vivenciar uma dinâmica comum da Matemática, descrita abaixo pelos seguintes passos:
Problema Especulações Conjectura Prova Teorema Solução do Problema

Essa dinâmica pode até não começar com um problema motivador, mas via de regra acaba terminando com a solução de um ou mais problemas interessantes.