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Responsáveis
Resposta: 5:3? Parece ..., mas não é. Um leitor do Ceará pediu ajuda, dizendo que, de acordo com o livro que contém o problema abaixo, a resposta é 7:1. Dois homens acampados num local muito frio resolvem fazer uma fogueira para se aquecer durante a noite. Um deles contribuiu com cinco pedaços de lenha, e o outro contribuiu com três pedaços. No instante em que se preparavam para acender a fogueira, chega ao acampamento um terceiro homem que não possuía nenhum pedaço de lenha, mas mesmo assim os outros dois permitiram que ele ali pernoitasse. Ao amanhecer, em sinal de agradecimento, o homem deixou 8 moedas de ouro para que os outros dois as dividissem entre si. Se a divisão for feita de forma justa, a razão entre as partes de cada um é: a) 1:1 b) 2:1 c) 3:2 d) 5:3 e) 7:1 RPM A fogueira foi acesa com 8 pedaços de lenha e o calor dividido igualmente entre os três homens, cada um recebendo o calor de 8/3 pedaços de lenha. O primeiro homem contribuiu com 5 = 15/3 pedaços de lenha e usou 8/3. Cedeu 7/3 para o terceiro homem. O segundo homem contribuiu com 3 = 9/3 pedaços de lenha e usou 8/3. Cedeu 1/3 para o terceiro homem. Portanto, 7:1 é a forma justa de dividir as 8 moedas.
Confuso em português, simples em Matemática Um leitor de Amazonas pediu a solução do seguinte problema: A dá a B tantos reais quantos B possui, e A dá a C tantos reais quantos C possui. Depois B dá a A e a C tantos reais quantos cada um possui, e C, finalmente, faz a mesma coisa. Se no final terminam todos, com 16 reais, então A começou com: a) 24 reais b) 26 reais c) 28 reais d) 30 reais RPM Vamos supor que, inicialmente, A tinha a reais, B tinha b reais e C tinha c reais. Lendo o problema: A dá, a B, b reais, e dá, a C, c reais. Então, A fica com a – b – c reais, B fica com 2b reais, e C fica com 2c reais. Em seguida, B dá, a A, a – b – c e dá, a C, 2c reais. Então, A fica com 2a – 2b – 2c reais, B fica com 2b – (a – b – c ) – 2c = – a + 3b – c e C fica com 4c reais. Finalmente, C dá, a A, 2a – 2b – 2c reais e dá, a B, – a + 3b – c reais. Então, A fica com 4a – 4b – 4c reais, B fica com – 2a + 6b – 2c reais, e C fica com Como todos ficaram com 16 reais, obtém-se o seguinte sistema:
A solução do sistema é a = 26 ; b = 14 ; c = 8. Resposta: alternativa b).
Geometrias não euclidianas Escreve um leitor de São Paulo: Li o artigo Encontro com o mundo não euclidiano, de autoria dos professores Sérgio Alves e Luiz Carlos dos Santos Filho, na RPM 78. Segundo esse artigo: "O Disco de Poincaré nos permite visualizar a negação do postulado das paralelas, ou seja, a possibilidade de termos mais do que uma paralela a uma reta dada, todas passando por um ponto fora dela [...]". Pergunto: e o caso de nenhuma reta paralela a uma reta dada, que se verifica na Geometria Esférica, que também nega o 5 RPM (resposta de Sergio Alves, IME/USP) A geometria esférica é uma geometria não euclidiana, porém num aspecto diferente do que foi abordado no artigo. O próprio Euclides provou que, numa geometria onde valem os postulados 1, 2, 3 e 4 incluídos nos seus Elementos, a paralela SEMPRE EXISTE. Logo, sobram apenas duas possibilidades com respeito à quantidade de paralelas a uma reta r dada, passando por um ponto P fora de r: ou ela é única ou existem pelo menos duas. A geometria esférica não se encaixa nesse sistema, visto que ela NÃO satisfaz o Postulado 1 de Euclides. Foi o matemático Riemann quem propôs uma alteração nos Postulados de Euclides de modo que as três geometrias (euclidiana, hiperbólica e esférica) estivessem contempladas.
Quantos algarismos? Um leitor de Piauí apresentou o problema: "Na numeração das páginas de um livro foram usados 321 algarismos. Quantas páginas tem o livro?" e disse ter encontrado fórmulas que resolvem esse tipo de exercício: O leitor pergunta se essas fórmulas são realmente seguras e pede, se possível, uma demonstração delas. RPM As fórmulas estão corretas. O fato básico a ser usado é o seguinte: Se a e b são inteiros, a < b, a quantidade de números inteiros entre a e b, incluindo a e b, é b – a + 1. Isto é, entre 1 e 9 existem 9 inteiros escritos, ao todo, com 9 algarismos; entre 10 e 99 existem 90 inteiros escritos, ao todo, com 2 × 90 = 180 algarismos; entre 100 e 999 existem 900 inteiros escritos, ao todo, com 3 × 900 = 2 700 algarismos; entre 1 000 e 9 999 existem 9 000 inteiros escritos, ao todo, com 4 × 9 000 = 3 600 algarismos, etc. Se a quantidade de algarismos da última página: for 3, de 100 até x há x – 100 + 1 números, escritos com 3 × (x – 100 + 1) algarismos. Então Q(x) = 9 + 180 + 3x – 300 + 3 = 3x – 111 + 3 = 3x – 108. for 4, de 1 000 até x há x – 1 000 + 1 números, escritos com 4 × (x – 1 000 + 1) algarismos. Então Q(x) = 9 + 180 + 2 700 + 4x – 4 000 + 4 = 4x – 1 111 + 4 = 4x – 1 107; for 5 , de 10 000 até x há x – 10 000 + 1 números, escritos com 5 × (x – 10 000 + 1) algarismos. Então Q(x) = 9 + 180 + 2 700 + 3 600 + 5x – 50 000 + 5 = 5x – 11 111 + 5 = 5x – 11 106; etc.
Futebol Um leitor do Ceará escreveu: Há algum tempo me vêm à cabeça alguns questionamentos que peço, por favor, me ajudem a resolver. No campeonato brasileiro de futebol (composto por 20 times que se enfrentam em jogos de ida e volta), como se faz o cálculo para saber as chances de um time ser rebaixado ou ser campeão depois de um número n de rodadas? Frequentemente vejo na televisão frases do tipo: "Segundo o matemático Oswaldo de Souza, tal clube tem tanto por cento de chance de ser rebaixado". É possível fazer esse cálculo? Como? Ou devo desconsiderar a informação? RPM (resposta de Claudia Peixoto, IME/USP) As afirmações feitas por um matemático são, em geral, baseadas em um modelo. No caso específico de um campeonato de futebol, há modelos simples, baseados apenas nas frequências de vitórias, derrotas e empates passados, bem como modelos mais elaborados. Um pequeno resumo de um modelo muito interessante pode ser encontrado em
Somatórios e mais somatório Escreve um leitor de Minas Gerais: " ... eu nunca fui fã de somatórios e sempre tenho dificuldades quando se trata desse assunto. Tentando melhorar meus conhecimentos, deparei com alguns problemas que me deixaram com o cabelo em pé". E o leitor enviou oito problemas com somatórios para a RPM, pedindo sua solução. Abaixo estão dois deles. 1. Os 2004 números x1, x2, …, x2004 são todos iguais a ( ) 500 ( ) 501 ( ) 502 ( ) 503 ( ) 504 RPM As possíveis parcelas da soma são: ( Vejamos o que aconteceria se o somatório fosse de 1 a 6 e não de 1 a 1002. Nessa situação, a soma ficaria: x1 x2 + x3 x4 + x5 x6 + x7 x8 + x9 x10 + x11 x12. Para que o resultado seja um número inteiro, deve haver tantas parcelas do tipo 3 + 2 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 A cada passo, diminuímos 2 = 1 + 1 e acrescentamos 6 = 3 + 3; logo, acrescentamos 4. Pensando do mesmo jeito para a soma com 1 002 parcelas, vê-se que os possíveis valores formam uma PA cujo primeiro termo é 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ... + 1 = 1 002, tem razão 4 e termina em 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +...+ 3 = 3 × 1 002 = 3 006. Essa PA tem 502 termos. Logo, haverá 502 valores inteiros distintos para a expressão. 2. O valor numérico de ( ) RPM
A soma será
E a última alternativa corresponde à resposta correta.
Na RPM 78: Um chute educado. Nesta RPM: Trocando as bolas Um leitor do Rio de Janeiro, lendo "Um chute educado" na seção O Leitor Pergunta da RPM 78, elaborou mais uma solução do problema lá apresentado e sugere o título acima para caracterizar essa solução. O problema, que originalmente apareceu na RPM 76, pede a solução da equação: Aí o leitor "troca as bolas": em vez de resolver a equação em x, resolve uma equação em 5: 52 – (2x2 + 1)5 + (x4 + x) = 0 e chega às equações x2 – x – 4 = 0 ou x2 + x – 5 = 0, como nas soluções apresentadas nas RPM 76 e 78.
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Postulado, e é uma geometria não euclidiana?
x
é:
( ) 
( ) 3
= x,
e, elevando novamente ao quadrado, obtém-se (5 – x