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Introdução Na RPM 77 o Prof. José Paulo Carneiro nos apresentou uma explicação da fórmula eiq = cosq + i senq. No início do artigo ele faz referência à curiosa relação entre cinco dos mais importantes números da Matemática (0, 1, i, e, q) que decorre dessa fórmula quando fazemos q = p. De fato, nesse caso teremos cosp = – 1 e senp =0 , o que reduzirá a fórmula à fabulosa identidade eip = – 1 ou eip + 1= 0, chamada em alguns livros de Matemática de identidade de Euler. Utilizando como ponto de partida algumas das ideias apresentadas no artigo da RPM 77, é possível explorar a beleza da identidade de Euler por meio de uma sequência dinâmica de imagens, conforme veremos a seguir. O tema discutido é de formação geral do professor de Matemática, porém, nada impede que possa ser proposto para alunos de ensino médio que já tenham tido contato com números complexos. Nesse caso, são necessários conhecimentos elementares a respeito das fórmulas de multiplicação e potenciação de complexos, bem como, da representação geométrica dessas operações no plano Argand-Gauss. Para mais detalhes sobre a representação geométrica dos números complexos, recomendamos a leitura, na RPM 55, do artigo A geometria e o ensino dos números complexos, também de autoria do Prof. José Paulo Carneiro.
Visualização geométrica de eip= – 1 O número e, que aparece na identidade de Euler, é o limite de Se x é o número complexo ip, então, para valores cada vez maiores de n a expressão (1 + ip) , se aproximam cada vez mais, e tanto quanto quisermos, de –1. A seguir ilustraremos esse resultado geometricamente. Sendo
para alguns valores de n. Recordemos que a forma trigonométrica (polar) do complexo z = a + bi é |z| (cosq + isenq) e a da potência zn é |z|n(cosnq + isennq); esta segunda usualmente chamada de 1
Estendendo essa investigação para um valor muito grande de n teremo |zn| muito próximo de 1, e os n vetores no plano irão “percorrer um semicírculo” com par ordenado mais à esquerda tendendo para (–1, 0), conforme ilustramos a seguir para o caso de n = 4, n = 5, n = 6 e n = 25:
Portanto, eip = –1 equivale a dizer que para valores muito grandes de n, a representação dos complexos
no plano Argand-Gauss se aproxima de um semicírculo de centro (0, 0) e raio 1, com o par ordenado mais à esquerda da representação tendendo para (–1, 0). Do ponto de vista geométrico, é notável o surgimento de um semicírculo. Não é a toa que o número p está presente na identidade de Euler. No site da RPM (http://www.rpm.org.br/cms/) disponibilizamos uma visualização dinâmica da situação descrita neste artigo para n indo de 1 a 25. A construção foi feita no software Geogebra 4.0, cuja distribuição é gratuita.
Referências bibliográficas Carneiro, J. P. A geometria e o ensino dos números complexos. RPM 55, 2004.
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quando n tende para o infinito. Com manipulações de limites, que podem ser encontradas em qualquer livro de Cálculo, é possível deduzir que ex é o limite de 
quando n tende para o infinito [1]. Outro resultado que também se demonstra em matemática superior, e que aqui apenas assumiremos como válido, é o de que a definição de ex como limite também é válida quando x é um número complexo [2].
se aproxima cada vez mais, e tanto quanto for necessário de e
, ...
fórmula de Moivre. Geométricamente, a representação dos complexos z, z
de z
Para n = 3, chamaremos 1 + 
de z
