Raphael Alcaires de Carvalho

Neste artigo vamos demonstrar um curioso resultado da geometria conhecido como o teorema da corda quebrada e, em seguida, mostrar uma surpreendente aplicação em trigonometria. Esse teorema não é novo, muito pelo contrário. Um matemático árabe do século X conhecido por Al-Biruni [1] relatou que o teorema já era conhecido por Arquimedes. De qualquer forma, mesmo sendo um resultado antigo, é pouco conhecido, bem interessante e completamente acessível aos alunos de ensino médio.

Dados sobre uma circunferência os pontos A, B e C , a união das duas cordas AB e BC chama-se corda quebrada ABC. Faremos a seguir uma construção para logo após enunciar o teorema.

Consideremos em uma circunferência uma corda quebrada ABC, com BC > AB, como na figura a seguir.

Observe que dessa forma, o menor arco subtendido pela corda BC é maior que o menor arco subtendido pela corda AB.

Seja M o ponto médio do arco ABC. Pela desigualdade anterior, sabemos que M está entre B e C. Seja então F o pé da perpendicular baixada de M sobre a corda BC.

O teorema da corda quebrada diz que, feita a construção anterior, tem-se

F é o ponto médio da corda quebrada, ou seja, AB + BF = FC.

Isso é bem curioso. O ponto M divide ao meio o arco ABC e, consequentemente, o ponto F divide ao meio a corda quebrada ABC.

Vamos então demonstrar isso:

Observando a próxima figura, seja E um ponto do segmento BC tal que EC = AB. Os triângulos BAM e ECM são congruentes pelo caso LAL, já que BM = BM (ângulos que subtendem o mesmo arco BM), MC = MA (subtendem os arcos MC e MA de mesmo comprimento) e AB = EC (por construção).

Essa congruência implica que BM = EM. Daí temos que o triângulo BEM é isósceles de base BE e, portanto, BF = FE.

Assim, AB + BF = EC + EF = FC, como queríamos demonstrar.

Como consequência desse teorema vamos demonstrar a fórmula que calcula o seno da diferença de dois arcos. Como os argumentos serão geométricos a demonstração não terá ainda toda a sua generalidade, mas já mostrará um primeiro e importante passo.

Sejam 2x e 2y as medidas dos arcos MC e BM, respectivamente. Como a medida do arco AM também é 2x, então a medida do arco AB é 2x – 2y. Na figura a seguir, G, H, I e J são os pés das perpendiculares traçadas de O, centro da circunferência, às cordas MC, BM, AB e BC, respectivamente e, para facilitar, tomaremos o raio da circunferência como 1.

Temos então

MG = x, MH = y e = x – y, pois são metades dos ângulos centrais MC, BM  e  AB.

MC = x e MB = y, pois são ângulos inscritos que subtendem arcos de medidas 2x e 2y.

Observe agora os três resultados a seguir.

a) MG = sen x, MC = 2 sen x e FC = MC cos y = 2 sen x cos y
b) HM = sen y, BM = 2 sen y e BF = BM cos x = 2 sen y cos x
c) IB = sen (x – y) e então AB = 2 sen (x – y)

O teorema da corda quebrada diz que AB + BF = FC, ou, AB = FC – BF.

Substituindo nesta última relação os resultados de a), b) e c) (e dividindo por 2) encontramos a fórmula

sen (x – y) = sen x cos y – sen y cos x,

que era o objetivo.

Deixaremos para o leitor encontrar a fórmula do seno da soma de dois arcos. Uma dica é observar que JC = sen (x + y).

Referência bibliográfi ca
[1] Eves, Howard. Introdução à história da matemática. São Paulo: Editora UNICAMP, 2004.

.