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PAINEL I: QUANTOS DIAS CABEM NUM PAR DE CUBOS? Robinson Nelson dos Santos
Quando vi, pensei: como a artesã descobriu quais números deveriam ser pintados em cada cubo? Como cada cubo tem 6 faces, teremos pelo Princípio Fundamental da Contagem, 6 × 6 = 36 combinações, mais do que suficientes para um mês. Mas como distribuir os dígitos entre os cubos para que possam formar os números dos dias (de 01 a 31)? Comecei pelos dígitos que devem, obrigatoriamente, aparecer nos dois cubos – como nas representações dos dias 11 e 22. Logo, os dígitos 1 e 2 devem estar pintados em duas faces de cada um dos cubos o que permitirá representar quatro dias: 11, 12, 21 e 22. Agora vamos ao caso dos números que começam com zero... Será que o zero é necessário nos dois cubos? Obviamente, não temos o dia 00. Mas, se pintássemos o zero apenas no cubo1, não conseguiríamos representar os dias de 01 a 09, já que o cubo2 poderá representar no máximo seis dígitos.
Portanto, vamos incluir o zero nos dois cubos. Temos então até agora três faces ocupadas em cada um dos cubos:
Nosso calendário já pode mostrar oito dias (01, 02, 10, 11, 12, 20, 21 e 22), mas ainda faltam muitos outros, que dependem dos dígitos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. E agora? Temos sete dígitos para pintar e há apenas seis faces em branco!
Nesse ponto, decidi examinar os cubos de madeira. A tabela ao lado mostra como a artesã distribuiu os números nas duas peças. Onde foi parar o dígito 9? Ora, está bem ali, na face D do cubo2: basta inverter o cubo para que ele mostre ora o 6, ora o 9. Solução esperta, sem dúvida. Nota da RPM Nas provas dos níveis 1, 2 e 3, da 1 A) 15 B) 16 C) 18 D) 19 E) 20
PAINEL II: TRIGONOMETRIA E OTIMIZAÇÃO
Pedro Roberto de Lima
A RPM 76 traz um interessante artigo intitulado Médias e problemas de otimização, no qual o autor utiliza a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica para resolver alguns problemas de otimização. O uso das médias possibilita que o professor trabalhe no ensino médio problemas que, a princípio, só poderiam ser considerados no ensino superior. Neste texto, gostaríamos de discutir brevemente (e para o mesmo propósito) o uso da trigonometria – que torna possível encontrar máximos e mínimos de algumas funções de modo elementar e, portanto, também nos permite resolver alguns problemas de otimização de modo direto, isto é, sem recorrer ao cálculo diferencial. Para mostrar o procedimento vejamos, primeiramente, um problema bastante simples: de todos os paralelogramos, nos quais as medidas a e b, dos lados adjacentes são mantidas fixas, qual é o de maior área? Para solucionar o problema observamos que se as medidas dos lados são constantes, então a única coisa que pode variar é o ângulo q entre eles (e consequentemente as alturas). Se h é a altura em relação ao lado b, a área do paralelogramo é dada pela expressão A = bh = ba senq, pois senq = h/a, sendo 0o < q < 180o. A área será máxima quando senq assumir seu valor máximo, isto é, senq = 1, ou seja, q = 90o. Logo de todos os paralelogramos com lados medindo a e b, o de maior área é o retângulo com as mesmas medidas de lados. Vejamos, agora, o seguinte problema: dado um triângulo isósceles no qual a medida dos dois lados iguais é b, qual dever ser a medida a do terceiro lado para que o triângulo possua área máxima?
A =ah/2 = 2b(cosq)b(senq)/2 = b2(cosq)(senq). Uma vez que b2 é constante, a área assumirá o seu maior valor quando o termo cosqsenq atingir o seu máximo. Como sen(2q) = 2(cosq)(senq) concluímos que a área será máxima quando sen(2q) atingir o seu máximo, isto é, quando 2q = 90º ou q = 45º. Concluímos, assim, que o triângulo de maior área é aquele no qual a = b Para finalizar, consideremos um dos problemas proposto (e resolvido) no artigo da RPM 76 citado no início deste texto:
Vejamos uma solução trigonométrica para esse problema. Observando a figura ao lado: y = 6senq e x = 6cosq. Como a área lateral desse cilindro é dada por A = 4πxy, podemos escrever A = 4π6(cosq)6(senq) = 144π(cosq)(senq). Com o mesmo raciocínio aplicado no problema anterior, concluímos que a área lateral será máxima quando q = 45º. Segue que para obter área máxima devemos ter x = y = 3
PAINEL III: SISTEMAS BINÁRIOS E TESTES Claudemir Aniz
Em 1991, prestei o vestibular de inverno da Universidade Estadual de Maringá para o curso de Matemática. Esse vestibular tem, ainda hoje, a peculiaridade de as questões serem de alternativas múltiplas, isto é, cada questão contém no máximo 7 alternativas com números 01, 02, 04, 08, 16, 32 e 64. A resposta será a soma dos números associados às alternativas verdadeiras ou 00, se todas as alternativas forem falsas. Para entender melhor o critério, considere a questão seguinte retirada do vestibular. (Vestibular/2011/UEM/Inverno) Sejam f e g duas funções com domínio e contradomínio igual ao conjunto dos números reais. É correto afirmar que 01) sempre que g é injetora, gof: As alternativas corretas são 04, 08 e 16, portanto, a resposta é 28 = 4 + 8 + 16. Respostas parcialmente certas, isto é, quando está assinalada pelo menos uma alternativa correta e nenhuma alternativa incorreta, recebem pontuação parcial. Ao acabar a prova, a seguinte pergunta me ocorreu: Como eles saberão as alternativas que assinalei se eu informei apenas a soma? A comissão do vestibular poderia ter enumerado as alternativas de 01 até 07 para facilitar a soma. Ora, pensei, se assim fosse, supondo que as alternativas assinaladas fossem 02, 03 e 04, a soma seria 09. Assinalando-se as alternativas 01, 03 e 05 a soma também seria 09. Então não há como saber quais as alternativas assinaladas, pois há, no mínimo, duas maneiras distintas de obter a soma 09. Logo, essa enumeração supostamente mais fácil não pode ser utilizada. Portanto, para que a atribuição de números às alternativas cumpra seu papel, que é o de resgatar as alternativas assinaladas, ela deve ser tal que a soma de números diferentes tenha resultados diferentes. Uma forma de atribuir números às alternativas que satisfaz essa condição é obtida utilizando-se potências de números naturais, por exemplo, potências de base 2, que é como o referido vestibular enumera as alternativas das questões. Vamos supor, para exemplificar, que um vestibulando tenha dado como resposta de uma questão o número 77. Quais foram as alternativas assinaladas? Vejamos: 77 = 2 × 38 + 1 = 2 × (2 × 19) + 1 = 22 × 19 + 1 = 22 × (2 × 9 + 1) +1 = 23 × 9 + 22 + 1 = 23 × (2 × 4 + 1) + 22 + 1 = 24 × 4 + 23 + 22 + 1 = 24 × (2 × 2) + 23 + 22 + 1 = 26 + 23 + 22 + 20. Então as alternativas assinaladas são aquelas associadas aos números 64 (= 26), 8 (= 23), 4 (= 22) e 1 (= 20). O que se fez foi escrever o número 77 no sistema binário ou base 2, isto é, 77 = (1001101)2. É claro que poderíamos usar potências de outras bases, como, por exemplo, 3, 4 ou 5, uma vez que qualquer número natural n pode ser escrito de forma única como soma de potências de base b (natural maior do que um); mas essas bases maiores apenas dificultariam desnecessariamente a soma a ser feita pelo candidato.
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Dia desses, numa feirinha de praia, encontrei uma peça de artesanato curiosa: um calendário feito com sólidos de madeira reciclada em que o dia era apresentado por dois cubos, combinando os dígitos estampados em suas faces. 
fase/2011 da OBMEP - Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, há uma questão sobre o mesmo calendário de cubos. O enunciado da questão é: Pedro tem dois cubos com faces numeradas, com os quais eleconsegue indicar os dias do mês de 01 a 31. Para formar as datas, os
Observe que h = b sen
(e o triângulo é retângulo). 
Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior área lateral que pode ser inscrito numa esfera de raio 6 m.
