José Aurimenes Alves Dias

Harmonia dos números

Em sala de aula de um curso preparatório, um brilhante aluno (Ruy Campello), pediu-me para resolver o problema:

Uma professora dispõe de um saco de balas para dividir entre seus alunos e estipula que a divisão dar-se-á do seguinte modo: o 1 aluno recebe 1 bala mais 1/7 do restante; em seguida o 2 aluno recebe 2 balas mais 1/7 do restante e assim sucessivamente, até que o último aluno recebeu o restante. No final, verificou-se que cada aluno recebeu a mesma quantidade de balas. Qual é o número de alunos e o número de balas?

Apresentei a solução a seguir.

Seja b a quantidade de balas. A quantidade de balas a1 que o 1 aluno recebe é
a1 = 1 + (b - 1) = . Sobraram b - = balas.

O 2 aluno recebe a2 balas sendo

a2 = 2 + = 2 +

Como os alunos receberam quantidades iguais de balas vamos igualar a as quantidades recebidas pelos dois primeiros alunos:
, o que leva a b = 36.

Substituindo esse valor, b = 36, na expressão de a1 (ou de a2) verificamos que cada aluno recebeu 6 balas, que coincide com o número de alunos.

Ele, o aluno, ficou satisfeito, mas na aula seguinte apresentou a seguinte afirmação: — Professor Aurimenes, sendo 7 o denominador de todas as frações, o número de alunos será sempre esse valor menos 1, isto é, 7 – 1 = 6 e a quantidade de balas será o quadrado de 6.

Vamos verificar se o Ruy tem razão.

Suponhamos que a professora dispõe de um saco de balas para dividir entre os seus alunos e estipula que a divisão dar-se-á do seguinte modo: o 1 aluno recebe 1 bala mais 1/k do restante; em seguida, o 2 aluno recebe 2 balas mais 1/k do restante e assim sucessivamente, até que o último aluno recebeu o restante. No final, verificou-se que cada aluno recebeu a mesma quantidade de balas. Qual é o número de alunos e o número de balas?

Sendo b a quantidade de balas, teremos

a1 = 1+ (b - 1) = e sobraram b - balas.

Então, a2 = 2+ . Fazendo a1 = a2,
a1 = = a2 = , obtemos b = k2 – 2k + 1 = (k – 1)2.

Logo, a quantidade de balas é igual a (k – 1)2 e substituindo esse valor na expressão de a1 (ou de a2) vemos que cada aluno recebeu (k – 1) balas.

E o Ruy estava certo.

Nota da RPM

De acordo com a solução apresentada, para que o primeiro e segundo alunos recebam o mesmo número de balas, deve-se ter um total de (k – 1)2 balas e, nesse caso, esses dois alunos recebem (k – 1) balas cada um. Mas é preciso, ainda, mostrar que cada um dos demais alunos também recebe a mesma quantidade (k – 1) de balas, o que pode ser feito por indução finita. Como visto anteriormente, o 1 aluno recebe (k – 1) balas. Suponhamos, agora, que os n primeiros alunos (com 1 n < k) tenham recebido (k – 1) balas cada um. Ao aluno (n + 1) caberão (n + 1) balas mais 1/k das restantes, que são (k – 1)2 – n(k – 1) – (n + 1). Logo, ele recebe um número de balas igual a

n + 1 + = n + 1 + =

n + 1 + = n + 1 + k – 2 – n = k – 1.

Então por indução, mostramos que todos os alunos recebem (k – 1) balas.

(Enviado por Luiz Avenir.)