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Rogério César dos Santos
Suponha que o salário de um trabalhador seja, em 2011, R$ 5.000,00, e que esse valor será aumentado em 4% em 2012. Suponha também que o aluguel do seu apartamento, em 2011, seja R$ 670,00 e que o aumento do aluguel em 2012 será de 9%. Percebe-se que o aumento percentual do aluguel é maior do que o aumento percentual do salário. Supondo que esses aumentos anuais sejam os mesmos durante alguns anos, alguém poderia pensar que a diferença entre o salário e o aluguel vai sempre diminuindo. Mas, não é bem isso o que ocorre, pelo menos nos primeiros anos. Vejamos.
Observamos que a diferença entre o salário e o aluguel está aumentando. Isso porque, olhando agora as duas últimas colunas, nesses primeiros anos, o aumento salarial ainda é maior do que o aumento do aluguel, pois, nesse início, 4% do salário ainda é maior do que 9% do aluguel. Em algum momento mais adiante, o aumento do aluguel é que será maior do que o aumento do salário. E aí sim, a diferença salário – aluguel começará a diminuir. Vamos determinar quando isso acontecerá. Seja x o número de anos após 2011, isto é, x = 0 para 2011; x = 1 para 2012; x = 2 para 2013, etc. e y o valor, em reais, do salário no ano 2011 + x. Pela fórmula do montante a juros compostos, temos y = 5.000 × 1,04x. Se z denota o valor do aluguel no ano 2011 + x, então z = 670 × 1,09x. Vamos pensar em dois anos consecutivos, 2011 + (x – 1) e 2011 + x. O aumento salarial, S, e o aumento do aluguel, A, de um ano para o outro serão dados por S = 5.000 × 1,04x – 5.000 × 1,04x –1 e A = 670 × 1,09x – 670 × 1,09x –1 Estamos procurando o valor de x para o qual S se torna menor do que A . 5.000 × 1,04x – 5.000 × 1,04x –1 < 670 × 1,09x – 670 × 1,09x –1 se e somente se 5.000 × 1,04x(1 – 1,04–1) < 670 × 1,09x(1 – 1,09–1). Daí, como todos os termos são positivos, temos, com aproximação de três casas decimais,
Usando logarítmos temos ln 3,507 < x ln1,048, logo, x > 26,759. Concluímos que a partir de x = 26,759 o aumento salarial será menor do que o aumento do aluguel e, consequentemente, a função diferença y – z começa a cair a partir desse tempo.
Bem, mais uma pergunta pode ser feita: apesar de a diferença começar a cair a partir de x = 26,759, ela ainda é positiva. Mas, até quando? Existirá um momento no qual y – z = 0? Vejamos: y = z ln7,463 = xln1,048 Além disso, como y – z é decrescente para todo x maior do que 26,759, então, a partir de 42,855, essa diferença será negativa. Enfim, daqui a 43 anos, o salário do trabalhador será sempre menor do que o aluguel que deverá pagar. Plotando o gráfico a função y – z numa planilha eletrônica (ou qualquer outro software matemático de construção de gráficos), obtemos a figura abaixo. Observe que a função diferença é crescente até x = 26,759, e se torna negativa para x maior do que 42,855 (quase 43):
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ou, 7,463 < 1,048x × 2,128 ou ainda, 3,507 < 1,048x.
5.000 × 1,04
