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Responsáveis
As soluções dos problemas 336 a 340 serão corrigidas apenas se enviadas até 30 de outubro de 2012.
336 Resolver em
sendo
337 Uma formiga parte da origem (0, 0) e anda 1 unidade até (1, 0); em seguida, vira 30o para a esquerda e anda mais 1/2 unidade até
338 Determinar, justificando, o lugar geométrico dos centros dos retângulos inscritos num triângulo acutângulo ABC.
339 Seja n > 1 um inteiro ímpar. Determine, em função de n, os dois últimos dígitos de 22n (22n + 1 - 1).
340 Seja A o menor dos ângulos do triângulo ABC. Os pontos B e C dividem a circunferência circunscrita ao triângulo em dois arcos. Seja U um ponto interior do arco BC que não contém A. As mediatrizes de AB e AC cortam a reta AU em V e W, respectivamente. As retas BV e CW cortam-se em T. Demonstrar que AU = TB + TC.
Probleminhas 1 – que horas são? Eu estou olhando para o meu relógio. A partir deste momento, o ponteiro das horas levará um tempo três vezes maior do que o ponteiro dos minutos para chegar no número 6. Que horas são?
2 – face de dígitos
(Sugestão: onde o 9 pode ficar?)
3 – despedida calorosa
(Retirados do livro Hard to solve - Brainteasers de Jaime e Lea Poniachik.) Respostas na página 'Salários e aluguéis'.
Soluções dos problemas propostos na RPM 76 326 A sequência de Fibonacci Fn é definida por Fn = Os primeiros termos dessa sequência são, portanto, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . Considere a matriz a) Mostre que An = Solução a) Temos: A1 = A2 = AA = Agora seja n > 1. Por indução, temos An = An-1A = b) Como det An = (det A)n = (– 1)n, temos (det A)n = Fn + 1Fn–1 – Fn2 = (– 1)n. c) De Am+n = Am An, temos
Assim, Fm+n = FmFn+1 + Fm–1Fn. (Solução adaptada das enviadas por diversos leitores.)
327 A, B, C são subconjuntos de {1, 2, 3, ..., 2011} dois a dois disjuntos, isto é, com A
Solução Como A (Solução adaptada das enviadas por diversos leitores.)
328 Determine todos os x, y inteiros positivos tais que 3x = y2 + 17.
Solução De 3x = y2 + 17, segue y2 é par, pois é diferença de dois ímpares. Logo, y é par. Afirmamos que x não pode ser ímpar. De fato, como y é par, y2 é múltiplo de 4 e então o resto da divisão de 3x por 4 é igual ao resto da divisão de 17 por 4, logo, igual a 1. Se x pudesse ser escrito como 2q + 1, então 3x = 32q+1 = 3(8 + 1)q e pelo binômio de Newton teríamos que o resto da divisão de 3x por 4 seria 3. Assim, x é par, x = 2q, e 3x – y2 = 32q – y2 = (3q – y)(3q + y) = 17, com 3q – y e 3q + y inteiros. Logo, temos (Solução adaptada das enviadas por vários leitores.)
329 Dado um triângulo equilátero ABC, inscrito numa circunferência, considere um ponto P qualquer no arco AB que não contém C. Solução Aplicando o teorema de Ptolomeu no quadrilátero APBC inscrito na circunferência temos AB . PC = AC . PB + BC . PA. Como AB = AC = BC segue que PC = PB + PA. (Solução enviada por vários leitores.) Nota
330 Seja X um ponto do interior do lado AC de um triângulo ABC. Prove que, se as circunferências inscritas nos triângulos ABX e BCX são tangentes, então, X pertence à circunferência inscrita no triângulo ABC.
Solução Sejam R, S e T os pontos de tangência da circunferência de centro I, inscrita no ∆ABC, com os lados AB, BC e AC respectivamente. Mostraremos que AT = AX. Denotando BC = a, AC = b e AB = c, temos (1) CE = CG = a – BG = a – BF = a – c + AF (2) AE = AX + XE = AX + XD = 2AX – AD = 2AX – AF
Somando os membros das igualdades (1) e (2), obtemos b = AE + CE = a – c + 2AX, logo, AX = Também, temos b = AT + TC = AT + CS = AT + a – BS = AT + a – BR = AT + a – c + AR, logo, AT = Assim, AT = AX, que implica X = T. (Adaptada de soluções enviadas por vários leitores.)
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a equação
x
. (x) + x = 2(x) + 10
em seguida, vira 30
Preencha os espaços indicados com os dígitos de 1 a 9, sem repetição, de modo que o produto dos dois olhos seja igual ao número acima da cabeça e que o produto de cada olho e boca seja igual ao número do lado da respectiva face.
.
para todo inteiro n > 1.
.
.
.
ou
.
B = A 
. Quantas triplas ordenadas (A, B, C) existem?
{1, 2, 3, ..., 2011}, temos 4 possibilidades: x pertence apenas a A; x pertence apenas a B; x pertence apenas a C ou x não pertence a nenhum desses conjuntos A, B ou C (o que acontece, por exemplo, no caso dos 
. Então 3q = 9, logo x = 4, e y = 8. 
Mostre que PA + PB = PC.
.