Raphael Alcaires de Carvalho
IFRJ

Na RPM 73 os professores Paulo Cezar Pinto Carvalho e Rui Eduardo Brasileiro Paiva utilizaram os conceitos de valores esperado e progressão aritmético-geométrica (PAG), respectivamente. Meu colega Jorge me pediu para resolver um problema que envolvia exatamente esses dois conceitos.

O problema é o seguinte:

"Em uma antiga prisão há uma passagem secreta que conduz a um porão onde há três túneis. O primeiro, túnel A, leva à liberdade em 5h, o segundo, túnel B, em 10h, e o terceiro, túnel C, leva de volta ao ponto de partida (porão) em 12h. Considere que os presos fugitivos sejam pessoas perturbadas mentalmente a ponto de talvez entrarem no terceiro túnel, retornarem ao porão 12h depois e entrarem nele novamente, podendo repetir esse procedimento indefinidamente, sem perceber que estão voltando ao mesmo local onde entraram. Determine, em média, quanto tempo os presidiários fugitivos que descobrem os túneis, levariam para escapar."

Vamos à resolução:

As possibilidades para os presos fugitivos saírem da prisão são:

I) Sair pelo túnel A;
II) Sair pelo túnel B;
III) Entrar no túnel C e depois sair pelo túnel A;
IV) Entrar no túnel C e depois sair pelo túnel B;
V) Entrar no túnel C duas vezes e sair pelo túnel A;
VI) Entrar no túnel C duas vezes e sair pelo túnel B;


E assim por diante.

Essas possibilidades estão representadas no diagrama de árvore abaixo:

Para o preso sair, ele demora, em cada uma das situações:

I – 5 h;
II – 10 h;
III – (12 + 5) h;
IV – (12 + 10) h;
V – (12 + 12 + 5) h;
VI – (12 + 12 + 10) h; e assim por diante.

A probabilidade de o preso sair em cada uma dessas situações é:

I – ; II – ; III – ; IV – ; V – ; VI – e assim por diante.

Portanto, o tempo médio T (valor esperado) para o preso sair da prisão é calculado da seguinte maneira:

T = . 5 + . 10 + . (12 + 5) + . (12 + 10) + . (12 + 12 + 5) + . (12 + 12 + 10) + ...

Podemos separar essa soma da seguinte forma:

T = 5.( + + + ...) + 10.( + + + ...) + 2 . 12.( + + + ...)

T = 5.( + + + ...) + 10.( + + + ...) + 2 . 12 . .(1 + + + ...)

T = 5S1 + 10S2 + 2.12 . S3

As duas primeiras somas infinitas, S1 e S2, são somas de uma PG de razão . Cada uma dessas somas vale S1 = S2 = =

Para a última soma infinita, S3, usaremos a fórmula da soma infinita de uma PAG: S3 = , onde a é o primeiro termo da PAG, q é a razão da PG e r a razão da PA. Substituindo a = 1, q = e r = 1, obtemos S3 = .

Portanto, T = 5 . + 10 . + 2 . 12 . . , ou seja, T = 13,5 h.

Assim, o prisioneiro leva em média 13h30min para sair da prisão.

Nota da RPM

Um outro modo de resolver o problema consiste em observar que o tempo esperado de saída satisfaz a equação

T = . 5 + . 10 + (12 + T)

(a última expressão se refere ao fato de que, se o prisioneiro optar pelo túnel C, ele terá gasto 12 horas e estará de volta ao ponto de partida).

Resolvendo a equação, encontramos T = 13,5 horas, como na resolução apresentada.