Sérgio Dias Assumpção
Professor da rede municipal de Sapucaia do Sul e da rede estadual do RS

O futebol de mesa, ou futebol de botão, como é mais conhecido, faz parte da cultura do povo brasileiro. Hoje, perdeu muito do seu espaço para os jogos eletrônicos, onde jogadores podem ser editados e assumirem as fisionomias de ídolos do mundo real. Mas, apesar dessa concorrência, ainda encontramos em grandes lojas, pequenos bazares ou mesmo no armazém da esquina, aquela clássica embalagem com um saquinho plástico contendo botões, goleiro, trave, bola e o principal: o escudo do time que aqueles pequenos pedaços de plástico representam.

Como não poderia deixar de ser, a mais rigorosa punição do futebol, o pênalti, também está presente no futebol de botão. Há uma máxima do futebol que diz que “pênalti bem cobrado é indefensável”. No futebol de mesa, o que é um pênalti bem cobrado? No futebol de mesa, a função do goleiro é quase nula, afinal ele não se movimenta, exceção feita à Regra Paraibana; basta que o cobrador desvie a bola dele e tudo está resolvido.

Dessa forma, converter ou não o pênalti depende apenas do cobrador. O grau de dificuldade da tarefa do cobrador pode ser medido pelo que chamaremos de ângulo penal, que é o ângulo determinado pelas direções de cobrança que resultam em gol. Obviamente podem-se executar outros tipos de cobrança, por exemplo, em que a bola encubra o goleiro. No entanto, para efeito dessa simulação, considerarei apenas as cobranças realizadas entre o goleiro e uma das traves laterais.

Os cálculos a seguir referem-se ao ângulo penal mínimo, que ocorre quando o goleiro está no centro do gol. É possível diminuir a distância entre o goleiro e a trave, mas isso acarretará uma maior distância no lado oposto, facilitando a tarefa do cobrador.

Os elementos considerados são:

AZ: distância entre as traves
BX: largura do goleiro
Círculo d, de centro D: a bola
AG e BG: retas tangentes ao círculo
d, que representa a bola
AB : ângulo penal

Para determinar o ângulo penal, vamos construir mais alguns elementos.

C: ponto médio de BX

Marca penal: a bola é colocada
numa posição tal que CD é perpendicular a AC

E: intersecção de BG com o círculo d
F: intersecção de AG com o círculo d
DE e DF : raios do círculo d

Essa construção gera os triângulos retângulos ACD, BCD, ADF e BDE que serão utilizados na resolução.

Com o estabelecido, podemos passar à resolução do problema de como um pênalti é bem cobrado. A regra analisada será a gaúcha, na qual as medidas são as seguintes:

Portanto, os valores a serem considerados são:

AC = 65mm         BC = 30 mm         CD = 120 mm         DE = DF = 5 mm.

Para determinar o ângulo AB, vamos primeiro determinar os ângulos GB e GA e, a seguir, usar a Lei Angular de Tales.

Os triângulos retângulos AFD e ACD possuem AD como hipotenusa comum. No triângulo ACD, os catetos são conhecidos e então podemos determinar sua hipotenusa pelo teorema de Pitágoras:

AD = 136,4734mm.

Conhecida a hipotenusa, temos

sen(DF)   =0,0366 e sen(DC)   = 0,8792.

Chegamos, então, por meio dos senos, aos valores aproximados de 2o e 62o, respectivamente, para DF e . Sendo esses ângulos consecutivos, temos o valor de pela sua soma: aproximadamente, 64o.

Diversamente da situação anterior, que apresentava dois ângulos consecutivos, agora, para determinar GA, temos ângulos sobrepostos. Os dois triângulos BCD e BDE têm BD como hipotenusa comum. Novamente usando o teorema de Pitágoras, obtemos

BD = 123,6931mm.

Analogamente à situação anterior, determinamos

sen(DE) =0,0404 e sen(DC) = 0,9701.

Determinamos para DE e DC os valores aproximados, respectivamente, de 2o e 76o. Como os ângulos sobrepõem-se, obtemos o valor do ângulo externo de GA subtraindo-os; portanto, o ângulo externo mede aproximadamente 74o e GA mede aproximadamente 180o – 74o = 106o.

Uma vez determinados dois ângulos de um triângulo, podemos obter o valor do terceiro pela Lei Angular de Tales. Temos então, no triângulo AGB,

AB + 106o + 64o = 180o ou AB = 10o.

Assim concluímos que o ângulo penal mínimo, numa cobrança de pênalti da Regra Gaúcha, é de, aproximadamente, 10°.

Nas demais regras, as medidas envolvidas são as constantes da tabela abaixo.

O leitor pode, então, seguindo os procedimentos realizados para a Regra Gaúcha, determinar o valor do ângulo penal das demais regras do futebol de mesa reconhecidas pelo Conselho Nacional de Desportos e descobrir, assim, em qual delas é mais fácil converter um pênalti!

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Um pouco da OBMEP

Na prova da 2 fase da OBMEP/2011, no nível 2, há a questão

Convidamos o leitor para, além de resolver a questão, tentar provar o seguinte resultado, muito interessante e desafiante:

Todo número natural tem um múltiplo irado.