Eduardo Luis Estrada

É amplamente difundido o fato de que, se os coeficientes de uma equação polinomial forem reais, então, toda vez que essa equação possuir uma raiz complexa, o conjugado dessa raiz também será raiz do polinômio.

Mas será que é válida a recíproca? Isto é, podemos afirmar que, se um polinômio com coeficientes complexos tiver todas as suas raízes ocorrendo aos pares conjugados, então seus coeficientes são reais? A resposta é afirmativa.

Para justificar, considere uma equação polinomial do grau n 2, cujas raízes ocorrem aos pares conjugados (isso inclui o caso de uma ou mais raízes serem reais, já que um real é o seu próprio conjugado). Essa equação pode ser escrita na forma p(z) = 0, em que podemos, sem perda de generalidade, supor igual a 1 o coeficiente do termo de grau n (se necessário, pode-se dividir ambos os membros da equação pelo coeficiente do termo de grau n). Então, é sabido que

p(z) = (z – z1) (z – z2) ... (z – zn), sendo z1, z2, ... zn as n raízes da equação, contando como repetidas as raízes múltiplas.

Cada vez que ocorre um par de raízes conjugadas não reais, digamos w e w, o correspondente produto é

(z – w)(z – w) = z2 – (w + w)z + ww = z2 – 2Re(w)z + |w|2 ,

um polinômio de grau 2 com coeficientes reais. Então, p(z) pode ser escrito como um produto cujos fatores são polinômios desse tipo ou polinômios do tipo (z – r), sendo r um número real. Todos esses polinômios têm seus coeficientes reais, o mesmo acontecendo com o seu produto p(z). Então fica claro que todos os coeficientes de p(z) = 0 são reais.