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Os problemas de otimização caracterizam-se por não mostrarem em seu enunciado a função a ser otimizada, fazendo com que o aluno ponha em evidência conhecimentos prévios e a habilidade de resolver situações-problema. Nos cursos superiores de Matemática, problemas de otimização costumam ser resolvidos com o uso do cálculo diferencial. No contexto de ensino médio, a maioria dos problemas de otimização conduz a uma função polinomial do segundo grau, mas é claro que há uma ampla gama de problemas elementares que não se enquadram nessa simplificação. No entanto, mesmo no ensino médio podem ser tratadas situações relativas a otimização que normalmente só seriam abordadas no ensino superior, pois a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica mostra-se eficiente na resolução de tais problemas. A desigualdade das médias é o teorema que diz que, se x1, x2, ..., xn são números reais positivos, então sua média geométrica não supera sua média aritmética, isto é:
E mais: a igualdade só ocorre quando todos os números forem iguais, x1 = x2 = ... = xn. O leitor interessado pode consultar várias demonstrações dessa desigualdade para dois números em [3], onde também há um esboço da demonstração geral para n números, ou ainda na própria RPM [4]. Em [1] e [2], podem-se encontrar diferentes demonstrações que não usam Cálculo, para n números. Vejamos agora alguns exemplos de problemas de otimização e suas soluções utilizando a desigualdade em questão: Problema 1 Se 1200 cm2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa e as dimensões para que isso ocorra. Solução: Seja A a área da superfície e V o volume da caixa. Se h é a altura da caixa, temos A = x2+4xh = 1200 e V = x2 h. Aplicando a desigualdade entre as médias em A:
Esse resultado nos diz que o volume é menor ou igual a 4000 cm3, e o volume será máximo se, e quando, a igualdade ocorrer. A igualdade acontece quando os termos forem iguais, x2 = 2xh. Resolvendo o sistema
Problema 2 Se uma lata de zinco de volume 16pcm3 deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura e o raio do cilindro para que a quantidade de material usado em sua fabricação seja a menor possível. Solução: Seja r o raio da base, h a altura e S a área da superfície total do cilindro. Então, temos r2h = 16 e S = 2prh + 2pr2. Usando a desigualdade das médias em S, obtemos
Ou seja, S Problema 3 Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior área lateral que pode ser inscrito numa Solução: A figura ao lado mostra a interseção do sólido com o plano que contém o eixo do cilindro. Se S é a área lateral do cilindro, temos S = 4pxy com x2 + y2 = 36. Aplicando a desigualdade das médias, podemos escrever
ou S A área lateral do cilindro é então menor ou igual a 72pm2 e será máxima quando, e se, a igualdade ocorrer. A igualdade acontece quando os termos forem iguais, isto é, x2 = y2. Agora basta resolver o sistema
O leitor deve ter observado que, em cada problema específico, é necessário um pouco de prática para descobrir quais são os termos que devem formar a desigualdade das médias a ser aplicada.
Referências bibliográficas
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4003 ou V 
obtemos x = 20 cm e h = 10 cm e constata-se que, de fato, ocorre o valor máximo, V = 4000cm
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esfera de raio 6 m.
obtendo x = y = 3
m.
36, abril de 1997.