CONCEITOS E CONTROVÉRSIAS

Elon Lages Lima
RPM 01

Zero é um número natural?

Sim e não. Incluir ou não o número 0 no conjunto dos números naturais é uma questão de preferência pessoal ou, mais objetivamente, de conveniência. O mesmo professor ou autor pode, em diferentes circunstâncias, escrever 0 ou 0 . Como assim?

Consultemos um tratado de Álgebra. Praticamente em todos eles encontramos = {0, 1, 2, ...}. Vejamos um livro de Análise. Lá acharemos quase sempre = {1, 2, 3, ...}.

Por que essas preferências? É natural que o autor de um livro de Álgebra, cujo principal interesse é o estudo das operações, considere zero como um número natural, pois isso lhe dará um elemento neutro para a adição de números naturais e permitirá que a diferença x – y seja uma operação com valores em não somente quando x > y, mas também se x = y. Assim, quando o algebrista considera zero como número natural, está facilitando a sua vida, eliminando algumas exceções.

Por outro lado, em Análise, os números naturais ocorrem muito frequentemente como índices de termos numa sequência. Uma sequência (digamos, de números reais) é uma função x: , cujo domínio é o conjunto dos números naturais. O valor que a função x assume no número natural n é indicado como a notação xn (em vez de x(n)) e é chamado o "n-ésimo termo" da sequência. A notação (x1, x2, ..., xn, ...) é usada para representar a sequência. Aqui, o primeiro termo da sequência é x1, o segundo é x2 e assim por diante. Se fôssemos considerar = {0, 1, 2, ...}, então a sequência seria (x0, x1, x2, ..., xn, ...), na qual o primeiro termo é x0, o segundo é x1, etc. Em geral, xn não seria o n-ésimo termo e sim o (n + 1)-ésimo termo. Para evitar essa discrepância, é mais conveniente tomar o conjunto dos números naturais como = {1, 2, 3, ...}.

Para encerrar este tópico, uma observação sobre a nomenclatura matemática. Não adianta encaminhar a discussão no sentido de examinar se o número zero é ou não "natural" (em oposição a "artificial"). Os nomes das coisas em Matemática não são geralmente escolhidos de modo a transmitirem uma ideia sobre o que devem ser essas coisas. Os exemplos abundam: um número "imaginário" não é mais nem menos existente do que um número "real"; "grupo" é uma palavra que não indica nada sobre seu significado matemático e, finalmente, "grupo simples" é um conceito extremamente complicado, a ponto de alguns de seus exemplos mais famosos serem chamados (muito justamente) de "monstros".

Qual é o valor de 00?

A resposta mais simples é: 00 é uma expressão sem significado matemático. Uma resposta mais informativa seria: 00 é uma expressão indeterminada.

Para explicar essas respostas, talvez seja melhor examinar dois exemplos mais simples de fórmulas desprovidas de significado matemático, que são   e . De acordo com a definição de divisão, = c significa que a = b.c. Portanto, se escrevêsssemos = x e = y essas igualdades significariam que 0 = 0.x e 1 = 0.y. Ora, TODO número x é tal que 0.x = 0 e NENHUM número y é tal que 0.y = 1. Por isso se diz que é uma "expressão indeterminada" e que é uma "divisão impossível". (Mais geralmente, toda divisão do tipo , com a 0, é impossível.)

Voltando ao símbolo 00, lembramos que as potências de expoente zero foram introduzidas a fim de que a fórmula = am-n, que é evidente quando m > n, continue ainda válida para m = n. Pondo am = b, teremos então = b0 , logo b0 = 1 se b 0. No caso b = 0, a igualdade = b0 tomaria a forma = 00, o que leva a considerar 00 como uma expressão indeterminada. Essa conclusão é ainda reforçada pelo seguinte argumento: como 0y = 0 para todo y 0, seria natural pôr 00 = 0; por outro lado, como x0 = 1 para todo x 0, seria também natural pôr 00 = 1. Logo, o símbolo 00 não possui um valor que se imponha naturalmente, o que nos leva a considerá-lo como uma expressão indeterminada.

As explicações acima têm caráter elementar e abordam o problema das expressões indeterminadas a partir da tentativa de estender certas operações aritméticas a casos que não estavam enquadrados nas definições originais dessas operações. Existe, porém, uma razão mais profunda, advinda da teoria dos limites, em virtude da qual e 00 (bem como outras fórmulas análogas) são expressões indeterminadas.

Escreve-se f(x) = A para significar que o número A é o limite para o qual tende o valor f(x) da função f quando x se aproxima de a. Sabe-se que, se f(x) = A e g (x) = B, então = , desde que B 0. Por outro lado, quando f(x) = 0 e g (x) = 0, então nada se pode garantir a respeito do limite do quociente quando x se aproxima de a. Dependendo das funções f e g que se escolham, pode-se conseguir que o quociente tenha como limite qualquer valor c dado de antemão, ou mesmo que não tenda para limite algum. Por exemplo, se tomarmos f(x) = c(x – a) e g(x) = x – a, então = c para todo x a, logo = c. Por esse motivo se diz que é uma expressão indeterminada.

Analogamente, dado a priori qualquer número real c > 0, podemos achar funções f, g tais que f(x) = 0, g(x) = 0, enquanto f(x)g(x)= c. Basta, por exemplo, tomar f(x) = x e g(x) = ; isso faz com que f(x)g(x) = = c para todo x > 0, logo  f(x)g(x) = c. (Para convencer-se de que = c tome logaritmos de ambos os membros dessa igualdade.) Portanto, quando f(x) = 0 e g(x) = 0, então f(x)g(x) pode ter qualquer valor c, dado de antemão, desde que escolhamos convenientemente as funções f e g. Então se diz que 00 é uma expressão indeterminada.

O QUE VAI POR AÍ

Na 52ª Olimpíada Internacional de Matemática (IMO), realizada entre os dias 16 e 24 de julho em Amsterdã, Holanda, o Brasil conquistou três medalhas de prata e três de bronze. Os estudantes André Macieira Braga (Belo Horizonte – MG), João Lucas Camelo Sá (Fortaleza – CE) e Henrique Fiúza do Nascimento (Brasília – DF) conquistaram as medalhas de prata, enquanto Débora Barbosa Alves (São Paulo – SP), Maria Clara Mendes Silva (Pirajuba – MG) e Gustavo Lisbôa Empinotti (Florianópolis – SC) conquistaram medalhas de bronze.

Com esse resultado, o Brasil classificou-se em vigésimo lugar entre 101 países participantes, o primeiro entre os países latino-americanos.

A China obteve a primeira colocação, à frente dos EUA. Os destaques individuais foram para a alemã Lisa Sauermann, que fez a pontuação máxima e conseguiu a quarta medalha de ouro em cinco participações, e o peruano Raúl Chávez, de apenas 13 anos, que, em sua segunda participação, conseguiu a sexta posição geral. Em 2012, a IMO será realizada na Argentina.