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Responsável: Alciléa Augusto
O problema do gato e rato a) a distância entre os dois é k pulos do rato; b) a distância entre os dois é k pulos do gato. No livro de Galante, o problema se restringia ao caso b), com a = 3; b = 10; x = 2; y = 8 e k = 30. O colega propõe a seguinte solução: Sejam m e n as distâncias percorridas por gato e rato, respectivamente, quando esses dão um pulo e w o número de pulos dados pelo gato para alcançar o rato. Pelas condições do problema, tem-se, então: mx = ny. Enquanto o gato percorre a distância am, o rato percorre uma distância bn; logo, quando o gato dá a pulos, ele se aproxima do rato am No caso a), para alcançar o rato, o gato precisa cobrir a diferença de distância igual a kn em w pulos, donde:
De modo análogo, no caso b), em que a diferença de distância a ser coberta é igual a km, obtém-se: w =
RPM Sem dúvida, é uma boa prática buscar generalizações para questões interessantes.
Material salvo de enchentes E não foram enchentes de agora, mas as de abril de 2010, que atingiram a cidade de Maricá, RJ. Naquela ocasião, o professor Joaquim Trotta, nosso colaborador de muito tempo, conseguiu salvar livros e publicações diversas que compõem a ESTANTE DE PUBLICAÇÕES DA EX. CNF. Um catálogo dessas obras, algumas distribuídas gratuitamente em reuniões festivas entre mestres e ex-alunos, foi distribuído entre os presentes no almoço de final de ano da Associação de Ex-alunos do Colégio Nova Friburgo. O professor Trotta nos conta que a Revista do Professor de Matemática está no catálogo.
Uma fórmula para hora do mundo O colega Cícero Moratti escreveu indicando sites onde se pode encontrar uma fórmula para o cálculo do horário num local em função do horário em outro local e sugere a integração com o professor de Geografia. Os sites indicados são: http://www.car.ufes.br/noticias/desenho_industrial_projeta_formula_para_geografia
RPM Certamente, o professor de Matemática terá condições de fazer esse cálculo sem que seja necessário decorar fórmulas. Vale a pena também saber que, na prática, os horários oficiais nem sempre correspondem ao horário calculado estritamente pelos fusos, mas essa questão pode ficar para o professor de Geografia.
Questões da OPM – Olimpíada Paulista de Matemática Um leitor de São Paulo nos escreveu comentando algumas questões de provas da 1
Questão 1 No ano 2010, ao preencher uma ficha de cadastro, Esmeraldinho trocou a dezena com a unidade do ano de seu nascimento. No cadastro ficou registrado que Esmeraldinho tinha 51 anos. Ele percebeu imediatamente que invertendo esse número chegava à sua idade correta, 15 anos. E ficou pensando se aquilo era uma coincidência ou se, sempre que alguém, em 2010, cometesse o mesmo erro, bastaria inverter as casas decimais para obter a idade correta. Nesse problema vamos ajudar Esmeraldinho a satisfazer sua curiosidade. Suponha que o ano de nascimento de uma pessoa seja 19AB (ou seja, 1900 + 10A + B) e que ela tenha CD anos completados em 2010 (ou seja, 10C + D). a) Mostre que 110 = 10(A + C) + (B + D). b) Conclua que caso ela tivesse, em 2010, cometido o mesmo erro de Esmeraldinho (trocar dezena com unidade do ano de seu nascimento) e a idade obtida fosse menor do que 100 anos, então bastaria inverter as casas decimais para obter a sua idade correta.
Questão 2 Ao resolver uma equação do 2 Isso pode ser útil para fatorar expressões de graus maiores: por exemplo, podemos observar a expressão x3 – 10x2 – 10x + 100 como um caso particular da expressão y2 – y(x2 + x) + x3, que é do 2 x3 – 10(x2 + x) + 100 = (10 – x)(10 – x2). a) Ao elevar os dois membros da equação b) Você pode considerar a equação (*) como do segundo grau na “variável” 7. Usando essa ideia, resolva a equação
Questão 3 Considere os números 2, 3 e 6. Quando somamos todos os produtos de dois desses três números, obtemos um quadrado perfeito: 2.3 + 2.6 + 3.6 = 36 = 62. Podemos acrescentar mais um número à sequência dada de modo que a soma de todos os produtos de dois dos agora quatro números continue sendo um quadrado perfeito: basta somar o dobro da raiz quadrada do quadrado perfeito que acabamos de obter à soma de todos os números anteriores. No nosso exemplo, o quarto termo é 2 + 3 + 6 + a) Calcule o próximo número (quinto termo) da sequência esnúrfica descrita acima. Lembre-se de que ele é a soma dos anteriores mais o dobro da raiz quadrada da soma dos produtos de seus elementos tomados dois a dois. b) Podemos também começar uma sequência esnúrfica com apenas dois números cujo produto seja um quadrado perfeito. Por exemplo, 2 e 8 cujo produto é 16 = 42. Calcule o próximo número (terceiro termo) dessa sequência. c) Calcule o quociente entre o quinto e o quarto termos da sequência esnúrfica iniciada com 2 e 8.
Questão 4 a) Foram somados, utilizando o algoritmo usual da adição (aquele que você conhece: tem o “vai um” quando é necessário), dois números naturais de 4 algarismos obtendo-se o resultado 19981. Sabendo-se que o “vai um” ocorreu três vezes nessa soma, determine quais são os dois números. b) Considere agora dois números naturais de 12 algarismos cuja soma é 1999990999999. É possível determinar quantas vezes ocorreu o “vai um” na conta, apenas a partir dessas informações? Caso seja possível, diga quantas vezes ocorreu o “vai um”. Esclarecimento: Contamos como “vai um” todas as operações intermediárias cujo resultado é maior ou igual a 10. Por exemplo, em 4971 + 5742 o “vai um” ocorre três vezes. (Essas questões são das provas da 1
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bn = 
. n.
. n = kn, o que nos leva a: w = 
.
fase da Olimpíada Paulista de Matemática. Ele considera que as questões a seguir são adequadas para serem resolvidas em sala de aula do ensino fundamental.
grau, você obtém 
= 7 – x
= 23
fase de 2010 e 2011. As soluções podem ser encontradas no site http://www.opm.mat.br/)