 |
|
|
|||
 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
Responsáveis
Escreve um leitor de Ribeirão Preto: Ao ler na RPM 75 o artigo Geometria Analítica: Algumas Reflexões, notei o que interpreto como uma incorreção no terceiro parágrafo do referido artigo, quando é afirmado que “a equação x2 – 7x + 10 = 0 não representa no plano uma parábola, mas sim um par de retas paralelas verticais”. RPM Quando consideramos representações gráficas no plano cartesiano, o conjunto solução de uma equação f (x) = 0 e o gráfico da função y = f (x) podem corresponder a conjuntos distintos de pontos. É o que acontece no artigo da RPM 75. Comparemos os dois conjuntos: A = {(x, y)| y = x2 – 7x + 10} Os dois conjuntos têm representação gráfica no plano cartesiano. Elementos do conjunto A são, por exemplo, (0, 10); (1, 4); (2, 0); (3, –2); etc. Para cada valor atribuído a x existe o valor correspondente de y. A representação gráfica de A é uma parábola. Observando que x2 – 7x + 10 = 0 é equivalente a (x – 2)(x – 5) = 0, que tem as soluções x = 2 e x = 5, vê-se que no conjunto B, os pares ordenados têm a primeira componente necessariamente igual a 2 ou 5, e não há nenhuma restrição quanto à segunda componente, que, por isso, pode assumir qualquer valor real. Assim, são elementos de B, por exemplo, (2, 0); (2, 1); (2, 2);... ; (5, 0); (5, 1); (5, 2); etc. A representação gráfica de B são duas retas verticais, paralelas ao eixo das ordenadas, pois todos os pares ordenados de B correspondem a pontos dessas retas. Observa-se que o conjunto A descreve uma função, mas o conjunto B descreve uma relação que não é uma função. OBMEP Um leitor do Ceará pediu as soluções de alguns desafios propostos no Banco de Questões 2010 da OBMEP. Um desses desafios é o seguinte:
RPM Sejam a, b, c os algarismos do número n. É dado que a + b + c = 17. O sêxtuplo 6n terá quatro algarismos, pois o menor número n, com soma de seus três algarismos igual a 17, é 188 e 6 × 188 já tem quatro algarismos. Como se afirma que 6n é formado pelos mesmos algarismos a, b, e c, um deles tem que ser repetido. Suponhamos que a seja o algarismo que se repete quando calculamos 6n. É dado que a + a + b + c = 21 e que a + b + c = 17. Portanto, a + 17 = 21, isto é, a = 4 e, consequentemente, b + c = 13. As possibilidades para b e c são: 4 e 9; 5 e 8 ou 6 e 7. Sendo a = 4, temos as seguintes possibilidades para os três algarismos:
Então 746 é o único número que satisfaz as condições do problema. Coloração do cubo Um leitor de Brasília lamentou não ter conseguido resolver o problema a seguir, proposto num vestibular do ITA. Dispomos de seis cores diferentes. Cada face de um cubo será pintada com uma cor diferente, de forma que as seis cores sejam utilizadas. De quantas formas diferentes isso pode ser feito, se uma maneira é considerada idêntica a outra desde que possa ser obtida por rotação do cubo? a) 30 b) 12 c) 36 d) 18 e) n.d.a. RPM Esse problema é apresentado às vezes como um quebra-cabeça. Na Internet, o problema, sua solução e a planificação dos cubos coloridos podem ser encontrados no endereço: http://www.puzzles.com/puzzleplayground/PaintingACube/PaintingACube.htm O leitor, após receber a solução enviada pela RPM, enviou uma solução elegantemente resumida: Sejam as seis cores a, b, c, d, e, f. Consideremos o caso em que a cor a esteja oposta à cor b no cubo. Temos então quatro cores para as quatro faces restantes: c, d, e e f. Existem 4! = 24 permutações dessas quatro cores. Porém, as permutações circulares (c, d, e, f), (d, e, f, c), (e, f, c, d) e (f, c, d, e) são obtidas umas das outras por rotações. Ou seja, nesse caso, existem 24/4 = 6 colorações distintas possíveis. O mesmo ocorre nos casos de serem opostas as faces a e c, as faces a e d, as faces a e e e as faces a e f. No total existem 5 × 6 = 30 modos de pintar o cubo
Caminho mais simples O mesmo leitor de Brasília tentou resolver o seguinte problema, também de um vestibular do ITA: Se P(x) é um polinômio do 5 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) e P(6) = 0, então temos: a) P(0) = 4 b) P(0) = 3 c) P(0) = 9 d) P(0) = 2 e) n.d.a. Ele considerou P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f e, ao impor as condições do problema, caiu num sistema de 6 equações com 6 incógnitas. Após muitos cálculos, obteve a solução. O leitor escreveu: Por ser um teste, deve haver algum caminho mais curto. RPM De fato, como P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = 1, o resto da divisão de P(x) por x – 1, x – 2, x – 3, x – 4 ou x – 5 é igual a 1 e então P(x) – 1 é divisível por cada um desses monômios e também pelo produto deles. Tem-se então P(x) – 1 = a(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5). Lembrando que P(6) = 0, vem: P(6) = 1 + a(6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = 0. Daí, 120a + 1 = 0, isto é, a = – Então, P(x) = – P(0) = –
Uma leitora de São Paulo escreveu: Certa vez fui prestar o concurso do Banco do Brasil e me deparei com a seguinte questão do teste de QI: Dados os valores, calcule o que se pede: 2 + 5 = 14; 4 + 6 = 40; 5 + 1 = 30, então o valor de 7 + 9 é igual a (a) 26 (b) 112 (c) 63 (d) 32. Esperava-se que fosse descoberta a seguinte regra a + b = a(a + b), daí 7 + 9 = 7.16 = 112. Não deveria ter sido usado outro sinal, por exemplo, *, no lugar de + no enunciado? RPM Está sendo questionada a conveniência de o sinal + ser usado para indicar uma operação que, visivelmente, não é a adição usual. Talvez um símbolo como Pode ser que assim a pessoa seja levada a descobrir a regra com mais facilidade. Mas esse é um argumento subjetivo. Poderíamos apontar fortes objeções a questões desse tipo: Três exemplos, como os que foram dados, não determinam a regra que está na cabeça de quem inventou a questão. A resposta poderia ser qualquer uma das alternativas apresentadas. É só construir uma regra que a 2 e 5 associa 14, a 4 e 6 associa 40, a 5 e 1 associa 30 e a 7 e 9 associa, por exemplo, 26. Uma tal regra certamente existe. Mas testes de QI e precisão matemática nem sempre andam lado a lado. Vestibular IME Escreve um leitor de Minas Gerais: Sou professor de cursinho na minha cidade e confesso que não consegui resolver a questão proposta num vestibular do IME (Instituto Militar de Engenharia): RPM Façamos y = Subtraindo membro a membro, obtém-se y2 – x2 = y – x ou (y + x)(y – x) = y – x. Portanto, y = x ou y + x = 1, isto é,
As condições x > 0 e 1 – x Portanto, a única solução é x = (Essa solução foi retirada do livro A Matemática do vestibular no IME, de Sergio Lima Netto, que na ocasião estava disponível na Internet.) Menelau Um leitor de São Paulo pediu a resolução do seguinte problema: O triângulo ABC da figura é equilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. Qual é o valor de AE?
RPM Considere a reta por D e E e segmentos paralelos pelos pontos A, B e C como na figura:
Temos triângulos semelhantes:
Dessas relações obtemos
Observação
Se uma reta corta os lados AB, BC e CA, de um triângulo ABC, nos pontos M, D e E (diferentes dos vértices), respectivamente, então A construção dos segmentos paralelos, feita no início da resolução apresentada, foi inspirada na demonstração desse teorema. |
|
× 
4, 4 e 9: o sêxtuplo de 449, 494, 944 não tem apenas 4’s e 9’s.
grau que satisfaz as condições
(um “+” dentro de um círculo) fosse mais adequado, pois o sinal + pode dar uma pista sobre a solução procurada. De 2 + 5 = 14, uma pessoa pode ser levada a pensar: “2 + 5 = 7, o que o 7 tem a ver com 14? 4 + 6 = 10, e o 10 com o 40?”
= x, x > 0.
. Então, a equação inicial fica x = 
, que implica x
5 – x = x
.
é uma solução do problema.
.
0 mostram que nenhum desses valores de x é solução do problema.
(–1 + 
).
AMP 
= 
, 
= 
,
= 1.Usando os valores dados no enunciado do problema, com AE = x, chegamos a
= 1. Daí, 160 – 16x = 6x e x = 160/22 = 80/11.
O problema proposto poderia ter sido resolvido aplicando-se diretamente o teorema de Menelau cujo enunciado é:
= 1.