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Responsáveis
As soluções dos problemas 326 a 330 serão corrigidas apenas se enviadas até 30 de março de 2012. 326 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . Considere a matriz A = a) Mostre que An = b) Utilize o item anterior para mostrar que Fn+1 Fn-1 – c) Ainda utilizando o item a), mostre que Fn+1 Fm+ Fn Fm–1 = Fm+n para todo m, n 327 A, B, C são subconjuntos de {1, 2, 3, ..., 2011} dois a dois disjuntos, isto é, com A 328 Determine todos os x, y inteiros positivos tais que 3x = y2 + 17.
Dado um triângulo equilátero ABC, inscrito numa circunferência, considere um ponto P qualquer no arco AB que não contém C. Mostre que PA + PB = PC. 330 Seja X um ponto do interior do lado AC de um triângulo ABC. Prove que, se as circunferências inscritas nos triângulos ABX e BCX são tangentes, então, X pertence à circunferência inscrita no triângulo ABC.
Probleminhas 1. Numa certa povoação vivem 800 mulheres. Delas, 4,5% usam apenas 1 brinco; das restantes metade usa 2 brincos e a outra metade, nenhum. Qual o número total de brincos usados pelas mulheres da povoação? 2. Luíza, Maria, Antônio e Júlio são irmãos. Dois deles tem a mesma altura. Sabe-se que Luíza é maior do que Antônio; Maria é menor do que Luíza; Antônio é maior do que Júlio e Júlio é menor do que Maria. Quais deles tem a mesma altura? 3. A tabela abaixo mostra o desempenho das seleções de um dos grupos da Copa do Mundo de 2002. Quais são os valores de x, y, z e w? (GM: gols marcados e GS: gols sofridos)
Num jogo, o vencedor ganha 3 pontos, em caso de empate as duas seleções ganham 1 pontos e a perdedora não ganha nem perde pontos.
Soluções dos problemas propostos na RPM 74 316 Em uma circunferência, n pontos são marcados e são traçadas todas as cordas ligando esses pontos. Suponha que não haja 3 cordas passando por um mesmo ponto interno à circunferência. Quantos pontos de intersecção internos à circunferência são determinados? Solução Dados quatro dentre os n pontos marcados na circunferência, a intersecção das diagonais do quadrilátero determinado por esses quatro pontos é um dos pontos de intersecção internos à circunferência do problema. Reciprocamente, dado um desses pontos de intersecção, há exatamente duas cordas que passam por esse ponto, cujas extremidades determinam um subconjunto de quatro dentre os n pontos marcados na circunferência. Assim, a quantidade desses pontos de intersecção é (Solução enviada por vários leitores.) 317 Uma corda AB, de comprimento constante, desliza sobre uma semicircunferência determinada por um diâmetro d. Considere o triângulo cujos vértices são: o ponto médio da corda e as projeções ortogonais dos seus extremos A e B sobre o diâmetro d. Mostre que, durante o deslizamento da corda, esse triângulo é sempre isósceles e nunca muda de formato (i.e., os ângulos do triângulo são constantes). Solução
Sendo OB o raio da circunferência, concluímos que OM é perpendicular a AB, pois o triângulo OAB é isósceles. Como O triângulo retângulo OMB não muda de formato, então temos (Solução enviada por Ezequiel Meireles Lourenço, PE.)
Achar as raízes de 16x4 + 8x3 – 16x2 – 8x + 1 = 0. Sugestão: Escreva sen(5a) em termos de sena. Solução Inicialmente mostraremos que sen 5a = 16sen5a – 20sen3a + 5sena. (1) Vejamos, sen5a = sen(2a + 3a) = sen2a.cos3a + sen3a.cos2a = Fazendo sena = x, obtemos o polinômio P(x) = 16x5 – 20x3 + 5x. Não é difícil perceber que 1/2 é raiz simples do polinômio P(x) – 1/2 = 16x5 – 20x3 + 5x – 1/2 e, portanto, podemos escrever 16x5 – 20x3 + 5x – 1/2 = (x – 1/2)(16x4 + 8x3 – 16x2 – 8x + 1). Daí e de (1) podemos concluir que, se sen 5a = 1/2 com sen a Temos as seguintes possibilidades para sen a no caso em que sen 5a = 1/2. 5a = Logo, a = Então, eliminando os casos em que a = 30o ou 150o, temos k = 0 Como sen102o = sen78o, sen174o = sen6o e sen222o = sen318o, segue que as quatro possibilidades distintas para sen a são sen6o, sen78o, sen222o e sen246o. (Solução enviada por diversos leitores.) 319 Se p é um inteiro primo ímpar, mostre que o numerador da fração Solução Podemos escrever
em que N é um número natural. Como p é um número primo, p > 2, segue que nenhum fator de (p – 1)! divide p; logo, o numerador da fração reduzida é múltiplo de p. (Solução enviada por Warles Ribeiro Neto.) 320 Mostre que existem infinitos polinômios P(x) com coeficientes reais tais que P(x2 + 1) = [P(x)]2 + 1. Solução O polinômio P(x) = x obedece à condição P(x2 + 1) = [P(x)]2 + 1. Além disso, sempre que um polinômio P1(x) com grau k Q(x2 + 1) = [P1(x2 + 1)]2 + 1 = [(P1(x))2 + 1]2 + 1 = [Q(x)]2 + 1. Assim, iniciando com P(x) = x, obtemos P1(x) = P(x)2 + 1 com grau 2, P2(x) = P1(x)2 + 1 com grau 4, e, assim, sucessivamente. Obtemos, então, uma sequência infinita, Pn(x), de polinômios dois a dois, distintos, pois têm graus distintos, que obedecem à condição do problema. (Solução enviada por diversos leitores.)
_________________________________________________ Nota enviada por Rubens Ortega É com tristeza que gostaria de comunicar o falecimento de um assíduo colaborador e fã da Seção Problemas da RPM, o Dr. Antônio Matos dos Santos, no dia 29 de maio de 2011, em Curitiba. O Dr. Matos era médico de sucesso, que atendia a centenas de pacientes com muita competência e dedicação, dentre os quais eu me incluía. Todas as vezes que eu ia a uma consulta, ele abria uma gaveta, tirava a RPM e me mostrava os problemas com as soluções que já havia feito, ou que ainda estava tentando fazer, iniciando uma breve discussão matemática, sempre interrompida por causa dos inúmeros pacientes que esperavam pelo atendimento. O nome do Dr. Matos figurou em quase todas as relações de leitores que enviaram soluções ao longo da história da RPM, além da sugestão do problema 294 (p. 56) da RPM 69, que ele me mostrou com muito orgulho. Fica o registro da irreparável perda que tiveram os cidadãos de Curitiba, principalmente aqueles que puderam conhecê-lo e compartilhar de sua amizade.
Respostas dos Probleminhas
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para todo inteiro n 
1.
= (–1)
B = A 
. Quantas triplas ordenadas (A, B, C) existem?
329
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Sejam M o ponto médio da corda AB, K e P as projeções ortogonais de A e B sobre o diâmetro d. Traçando o segmento MN paralelo a BP, que também é paralelo a AK, então N é o ponto médio do segmento KP. Como MN é perpendicular a KP, então o triângulo MKP é isósceles.
OMB = 
1/2, então sen a é raiz do polinômio 16x
para k = 0, 1, 2, 3, 4.
a = 6
é um múltiplo de p.
