Catarina Malheiro
Alexandra Gomes
Adaptado do artigo de mesmo nome do
Jornal de Matemática Elementar, nº 292.
Lisboa, março de 2011

Shri Dattathreya Ramachandra Kaprekar nasceu na Índia em 1905, filho de um clérigo fascinado por astrologia. Uma vez que a astrologia requer uma certa habilidade para calcular, o filho provavelmente adquiriu um gosto especial pelo cálculo em função do fascínio do pai.

Desde jovem, Kaprekar dedicava muito tempo à resolução de problemas matemáticos, tendo chegado a receber o prêmio matemático Wrangler R. P. Paranjpe, pela melhor matemática original apresentada por um estudante.

Graduou-se em Matemática em 1929 e foi professor de Matemática no ensino secundário. Era tido como um bom professor, que usava o seu gosto pelo cálculo para estimular os seus estudantes.

Os problemas matemáticos a que Kaprekar se dedicava eram considerados pelos matemáticos mais iminentes como triviais e pouco importantes, de tal forma que dificilmente ele conseguia publicar os seus trabalhos em revistas renomadas, sendo conhecido fundamentalmente no nível da Matemática recreativa e dos jogos matemáticos.

Uma das suas descobertas mais famosas foi feita em 1946: a constante de Kaprekar. Essa descoberta foi apresentada na Madras Mathematical Conference em 1949, tendo sido posteriormente publicada na revista científica Scripta Mathematica, em 1953, no artigo Problems involving reversal of digits.

Vejamos então em que consiste a rotina de Kaprekar, que conduz sempre a um número constante, 6174, conhecido como constante de Kaprekar:

	Dado um número qualquer de 4 algarismos, não todos iguais, reorganizam-se os algarismos de forma a obter o maior e o menor números possíveis que se podem formar com os 4 algarismos (aqui consideramos "números" com zeros à esquerda como sendo números de 4 algarismos, como, por exemplo, se o maior número é 1000, então o menor é 0001) .
	Em seguida subtrai-se o número menor do número maior, obtendo-se um outro número de 4 algarismos (também no resultado da subtração considera-se sempre um "número" de 4 algarismos colocando-se zeros à esquerda do número obtido, como, por exemplo, 1000 – 0001 = 0999).
	Organizam-se os algarismos do número obtido na subtração de forma a obter o maior e o menor números possíveis e subtrai-se novamente o menor do maior.
	Repete-se sempre o processo até encontrar 6174.

Vejamos alguns exemplos de aplicação da rotina de Kaprekar.

O número de iterações necessárias depende dos algarismos que compõem o número selecionado inicialmente.

Existem 8.991 possibilidades de números obtidos pela combinação de quatro algarismos, desde 1000 até 9999, com a condição de que o número não tenha todos os algarismos iguais. Aplicando o processo de Kaprekar a esses 8.991 números, verifica-se que o número de iterações necessárias para se atingir a constante de Kaprekar é no máximo sete. A tabela ([2]) a seguir mostra, na coluna à direita, a quantidade de números (frequência) para os quais a quantidade de iterações necessárias para se chegar à constante de Kaprekar é o número da coluna à esquerda.

Pela análise desses dados, podemos verificar que a necessidade de três iterações para a obtenção da constante de Kaprekar é a situação mais comum, isto é, existem 2.124 números, entre os 8.991 possíveis, que necessitam da aplicação de três algoritmos da subtração, de acordo com as condições estipuladas, para se obter a constante de Kaprekar. Considera-se que a aplicação do algoritmo à própria constante (7641 – 1467 = 6174) não requer nenhuma operação, fato que na tabela está representado pela iteração "0".

O investigador Malcom Lines [2] realizou um estudo sobre a aplicação da rotina de Kaprekar e verificou que, para se concluir qual é o número de iterações necessárias até se obter a constante de Kaprekar, não é necessário concretizar os algoritmos para todos os números de quatro algarismos. Vejamos o seu raciocínio.

Consideremos que se deseja a organização dos quatro algarismos de um número por ordem crescente e por ordem decrescente e que se deve subtrair o menor do maior. De uma forma genérica, para um número com os algarismos a, b, c, d em que 9 a b c d 0, o número maior pode ser escrito na forma 1000a + 100b + 10c + d e o número menor pode ser escrito na forma 1000d + 100c + 10b + a. Então, a primeira subtração será:

1000a + 100b + 10c + d – (1000d + 100c + 10b + a) =
1000(a – d) + 100(b – c) + 10(c – b) + (d – a) = 999(a – d) + 90(b – c).

Nas condições impostas, 9 a b c d 0 e os algarismos não são todos iguais, temos que (a – d) pode tomar valores de 1 até 9 e (b – c) pode tomar valores de 0 a 9.

O autor sistematizou esses resultados na tabela a seguir, atribuindo os valores possíveis a (a – d) e (b – c) e calculando 999(a – d) + 90(b – c).

Na tabela apresentada, os números que estão na zona sombreada (que corresponde aos números em que a – d < b – c ) podem ser excluídos, uma vez que estamos apenas interessados em números com algarismos não todos iguais e com a > b > c > d. Podemos então reorganizar a tabela, colocando os números com os algarismos por ordem decrescente, prontos para se aplicar a segunda subtração:

Eliminando as restrições e as duplicações de números, ficamos com apenas 30 números na tabela anterior para calcular o número de iterações necessárias até chegar à constante de Kaprekar. Resumindo, para um número qualquer de quatro algarismos, há apenas duas possibilidades: ao ordenarmos seus algarismos em ordem decrescente, obtemos um dos 30 números da tabela ou obtemos um desses 30 números após uma primeira aplicação do algoritmo de Kaprekar. Como o número máximo de iterações necessárias para os 30 números da tabela é seis, o número máximo de iterações necessárias para qualquer número de quatro algarismos será sete.

O diagrama sistematiza as iterações necessárias para os 30 números da tabela:

Há muitos questionamentos sobre fundamentos que possam explicar a rotina e constante de Kaprekar, mas a verdade é que até agora tudo parece se resumir a uma feliz e bonita coincidência que proporciona interesse e motivação para novas descobertas.

Referências bibliográficas

[1] http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Kaprekar.html
(Informação retirada em 22/06/2011.)

[2] Nishiyama, Yutaba (2006). Mysterious number 6174. Plus Magazine, Issue 38.
Disponível em http://plus.maths.org/issue38/features/nishiyama/index.html
(Informação retirada em 22/06/2011.)