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Daniel Brandão Menezes
A célebre fórmula 13 + 23 + ... + n3 = (1 + 2 + ... + n)2, que dá a soma dos cubos dos n primeiros números naturais em função da soma desses mesmos números, já foi objeto de diferentes justificativas na RPM. Na RPM 7, p. 44, está a forma mais usual e que se generaliza para qualquer potência. Na RPM 64, p. 45, são usados os números triangulares. A RPM 39, p. 5, e a RPM 66, p. 8, apresentam justificativas geométricas, “sem palavras”. Apresentamos aqui outra dedução, diferente das já apresentadas, fatorando a expressão do lado esquerdo da igualdade e agrupando os pares de termos equidistantes dos extremos. Seja então Sn = 13 + 23 + ... + n3 e suponhamos primeiro que n seja par, digamos, n = 2m. Grupando os termos equidistantes dos extremos: Sn = [13 + n3] + [23 + (n – 1)3] + ... + [m3 + (n – (m – 1))3] =
Vamos agora fatorar cada parcela k3 + (n – (k – 1))3. Para isso, vamos usar o fato a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) fazendo a = k e b = n – (k – 1). Grupando convenientemente, obtemos (verifique): k3 + (n – (k – 1))3 = (1 + n)[n2 – (3k –2)n + (3 k2 –3k + 1)]. Escrevendo as parcelas de Sn, para k = 1, 2, ..., m, só para ilustrar: 13 + n3 = (1 + n)(n2 –1n + 1) 23 + (n – 1)3 = (1 + n)(n2 –4n + 7) 33 + (n – 2)3 = (1 + n)(n2 –7n + 19) ... m3 + [n – (m – 1 )]3 = (1 + n)[n2 –(3m – 2)n + (3m2– 3m + 1)] A soma das parcelas do lado esquerdo é o procurado Sn. Para somar agora as parcelas do lado direito, coloca-se em evidência o fator comum (1 + n) e depois se soma o que está dentro dos parênteses. Assim: Somando todos os termos em n2, obtém-se m n2. Para somar todos os termos em n, usa-se a fórmula da soma dos termos de uma PA, pois 3m – 2 é o termo geral de uma PA de razão 3, começando em 1. Portanto, – (1 + 4+ 7 + ... +(3m – 2))n = – A soma 1 + 7 + 19 + ... pode ser realizada observando-se que seu termo geral 3k2– 3k + 1 pode ser escrito como 3k2– 3k + 1 = k3 – (k – 1)3. Assim, a soma deles é (13 – 03) + (23 – 13) +(33 – 23) + ... + (m3 – (m – 1)3) = m3, pelo cancelamento das parcelas simétricas. Logo, Sn = (1 + n) Substituindo-se m por n/2 e simplificando, fica (verifique os detalhes): Sn = (1 + n) Porém, 13 + 23 + ... + n3 = (1 + 2 + ... + n)2, para qualquer n par. Se n for ímpar, então Sn = 13 + 23 + ... + n3 = 13 + 23 + ... + (n – 1)3 + n3. Como (n – 1) é par, podemos usar o resultado já encontrado para a soma das (n – 1) primeiras parcelas, obtendo: Sn = 13 + 23 + ...(n – 1)3+ n3 =
Portanto, o resultado é válido também para n ímpar.
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[k
= 1 + 2 + 3 + ... + n; logo,
