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PAINEL I: ESCOLHENDO O MELHOR PLANO DE TELEFONIA Rogério César dos Santos Ao verificar os detalhes da conta de meu telefone fixo, observei que há um pagamento mínimo de 37 reais para cada mês, que o preço da ligação, por minuto, para aparelho fixo é de 12 centavos e, para celular, é de 74 centavos. O pagamento mínimo significa que, se a soma dos preços de minhas ligações for inferior a 37 reais, eu pago os 37 reais; se essa soma ultrapassar os 37 reais, então pago os preços estabelecidos pelos minutos de ligação. O cálculo do valor da fatura na “vida real” pode ser um pouco diferente do que faremos aqui. Vamos admitir que, se x é o tempo, em minutos, de ligações mensais para um aparelho fixo e y para um aparelho celular, o valor da fatura, S1, é calculado pela expressão
Essa é a opção 1 fornecida pela operadora. Uma outra opção da operadora é me oferecer um valor mínimo reduzido, de 15 reais, mas daí o custo da ligação aumentaria para 15 e 95 centavos, respectivamente, para aparelho fixo e celular. Seria a opção 2. Nesse caso, ovalor da fatura, S2, seria calculado por
A funcionária me explicou que essa segunda opção é mais adequada para quem liga menos. Qual é a melhor opção pra mim? Vamos representar, em um sistema de coordenadas, as regiões do primeiro quadrante que determinam os diferentes valores das faturas: R1 = {(x,y) |0,15x + 0,95y < 15} R2 = {(x,y) |15 < 0,15x + 0,95y < 37} R3 = {(x,y) | 0,15x + 0,95y > 37 e 0,12x + 0,74y < 37} R4 = {(x,y) | 0,12x + 0,74y > 37}
Observando a figura, vemos que: S1 = (0,12x + 0,74y) reais > 37 reais na região R4 e S1 = 37 reais no complementar, ou seja, na união das regiões R1, R2 e R3. S2 = (0,15x + 0,95y) reais > 15 reais na união das regiões R2, R3 e R4 e S2 = 15 reais no complementar, ou seja, na região R1. Região R1 S1 = 37 reais e S2 = 15 reais, logo a melhor é a opção 2. Região R2 S1 = 37 reais e S2 = (0,15x + 0,95y) reais < 37 reais, logo a melhor é a opção 2. Região R3 S1 = 37 reais e S2 = (0,15x + 0,95y) reais > 37reais, logo a melhor é a opção 1. Região R4 S1 = (0,12x + 0,74y) reais < (0,15x + 0,95y) reais = S2, logo a melhor é a opção 1. A tabela mostra alguns exemplos.
PAINEL II: Melhor opção de recuperação Rogério César dos Santos
A média de uma disciplina é dada da seguinte maneira: adicionam-se as três notas aplicadas no semestre e divide-se a soma por 3. A recuperação pode ser feita de duas formas: uma é substituir a menor das três notas pela nota da prova de recuperação e refazer a média; a outra é adicionar a nota da prova de recuperação com a média das três notas e dividir a soma por 2. Suponha que as notas de um aluno tenham sido 5, 4 e 4 durante o semestre e 6 na recuperação, sendo 5 a nota mínima para aprovação. Então, na primeira opção, devemos substituir uma das notas 4 pela 6 e refazer a média: média final = (5 + 6 + 4)/3 = 5. Já na segunda opção, faríamos [(5 + 4 + 4)/3 + 6]/2 = 31/6 = 5,2, arredondando. Nesse caso, a segunda opção é mais vantajosa para o aluno. Em quais situações a primeira opção é melhor e em quais é pior para o aluno? Sejam 0 Vamos olhar para a função diferença ( f – g)(x) = – Se x > r = b + c – a, (f – g)(x) < 0 e o melhor é ir pela segunda opção. Se x < r = b + c – a, (f – g)(x) > 0 e o melhor é ir pela primeira. Se x = r = b + c – a, as duas opções dão a mesma média final: g(r) = f(r) =
PAINEL III: Usando semelhança de triângulos Alex de Brito Coelho
Em uma aula do saudoso Professor Morgado, no curso para professores de Matemática no IMPA, o brilhante mestre resolveu uma questão tradicional, “O problema das torneiras”, utilizando o método da redução à unidade. Mais tarde, numa outra etapa do curso, fomos convidados a apresentar soluções para questões semelhantes, envolvendo o mesmo assunto. Minha preferência pela Geometria fez com que desenvolvesse uma solução diferente da apresentada pelo professor para a questão abaixo. Uma vela queima completamente em três horas, e outra, da mesma altura, queima completamente em 4 horas. Depois de quanto tempo, após o início do processo, uma vela terá o dobro da altura da outra? Imaginando as velas com altura H e supondo que o tempo de queima de ambas é proporcional à diminuição da altura, representei o problema num plano cartesiano. Denotei por x a abscissa dos pontos de alturas h e 2h nas retas que representam a queima das velas.
Os triângulos sombreados na figura 1 são retângulos e semelhantes, o mesmo acontecendo com os triângulos sombreados na figura 2. Dessas semelhanças obtemos
Então, Achei a solução interessante e procuro apresentar problemas desse tipo aos alunos quando apresento o assunto semelhança de triângulos, enfatizando que tal conteúdo é ferramenta importante mesmo fora do contexto geométrico.
Resposta dos probleminhas... 1. 27
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a 
< 5, 
. Na segunda, seria
.
, cujo gráfico é uma reta de inclinação –1/6 e cuja raiz, r, tal que (f – g)(r) = 0, é r = b + c – a; sendo 0 
0.
– 1 (figura 1) e 
– 1 (figura 2).
, que leva a 8(3 – x) = 3(4 – x), i