Calixto Garcia

Quem nunca viu ou até mesmo confeccionou na escola trabalhos artísticos que consistiam em unir com barbantes pregos fixados em uma base plana, seguindo alguma regularidade? Entre vários desse tipo de trabalho, está a construção ilustrada a seguir, a qual pretendemos explorar.

figura 1

Aqui, temos pregos igualmente espaçados sobre um ângulo reto. Note que os pedaços de barbante esticados são hipotenusas de triângulos com a soma das medidas dos catetos constante.

Ainda que essa atividade seja proposta a alunos do ensino médio, às vezes não se comenta que existe uma parábola tangenciando cada linha dessa coleção, ou, em outras palavras, que a curva envolvente criada por essas linhas é uma parábola.

Vamos abordar um exemplo, adotando 2 como o valor da soma das distâncias dos pontos de fixação do barbante ao vértice do referido ângulo reto. Vamos considerar os lados do ângulo reto como as bissetrizes dos dois primeiros quadrantes de um plano cartesiano.

figura 2

Observando a figura 2, devemos ter OP + OQ = 2. Assim, se xQ = k, temos OQ =k e, portanto, OP = 2 – k = (2 – k). Com isso, deduzimos que xP = –(2 – k) e conhecemos os pontos Q = (k, k) e P = (k – 2, 2 – k).

Então, a reta PQ tem coeficiente angular = k – 1 e, portanto, sua equação é: y – k = (k – 1)(x – k).

Embora os barbantes sejam em número finito e correspondam a segmentos, vamos considerar a família de retas de equações y – k = (k – 1)(x – k), para cada k real entre 0 e 2.

Suponha que se queira determinar quantas retas dessa família passam por um certo ponto (x, y). Para isso, reescrevemos a equação das retas da família na forma k2 – (x + 2)k + x + y = 0 e resolvemos essa equação considerando k como incógnita. Em particular, se procuramos os pontos pelos quais passa uma única reta da família, deve ser nulo o discriminante da equação do segundo grau em k, isto é, Δ = (x + 2)2 – 4(x + y) = 0, o que equivale a y = x2 +1 reconhecidamente a equação de uma parábola. Mais precisamente, a parábola com foco (0, 2) e diretriz coincidente com o eixo x.

Em outras palavras, todos os pontos por onde passa somente uma reta da família pertencem à parábola y = x2 +1.

Além disso, essa reta intersecta a referida parábola num único ponto, a saber, o ponto (2(k – 1), (k – 1)2 + 1), que é a solução única do sistema ,como o leitor pode verificar.

De um modo geral, a condição de intersectar num único ponto não é nem necessária nem suficiente para que essa reta seja tangente a uma curva, mas, no caso de uma parábola, essa condição é sufi ciente para uma reta não paralela ao eixo (ver [1]) ser tangente à parábola.

O procedimento adotado neste exemplo pode ser generalizado, isto é, os pregos podem ser espaçados ao longo dos lados de um ângulo não necessariamente reto e os valores das distânciquer. Ainda assim, a envolvente continuará a ser uma parábola.

Referência bibliográfica

[1] Lima et al. Matemática do Ensino Médio, vol. 1. Coleção do Professor de Matemática. Rio de       Janeiro: SBM.