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Responsável: Alciléa Augusto
Uma homenagem diferente Escreve-nos o colega Sebastião Maurício dos Santos, de Juiz de Fora, MG, que na década de 80, dando aulas numa 7
E, depois de usar vários casos de fatoração, a homenagem veio no resultado: JUCIMAR RPM Essa seria uma boa ideia para enamorados, mas... será que, nos dias de hoje, em tempos de twitter, haverá algum apaixonado capaz de propor questão assim tão complicada? E será que alguém chegaria à resposta final?
Parecem diferentes, mas... Escreve-nos o colega Antonio Ricardo de Melo Santos, de Belo Horizonte, MG, contando que, quando lecionava Trigonometria na 1 Ele dá o exemplo do cálculo de sen15o. Usando que 15o = 45o – 30o e recorrendo à fórmula do seno da diferença, chega-se ao resultado: sen15o =
Usando essa expressão para A = 2 e B = 3, ele mostra que as duas expressões obtidas para o sen15o são iguais. Numa observação no final da carta, o colega Antonio conta que se aposentou em fevereiro de 2009, depois de 33 anos de magistério, e lembra o início de sua carreira, como monitor do Projeto Minerva (programa de rádio daquela época) na Penitenciária Regional de Juiz de Fora, MG, em 1976. Foi ali que, pela primeira vez, escreveu num quadro de giz e confessa: “Enquanto, dentro do peito, pulsar-me o coração, a Penitenciária Regional de Juiz de Fora despertará agradável lembrança”. RPM Observamos que, como as duas expressões obtidas para o sen15o representam números positivos, basta elevar ambas ao quadrado e verificar que os quadrados são iguais:
A referência que o colega faz ao estudo numa penitenciária lembrou-me também um episódio dos primórdios da RPM, em que um leitor do Uruguai solicitava a mudança de endereço para uma rua da cidade, em vez do endereço antigo: “6
Nova fórmula para uma PA? O professor Tiene André, da E E Rui Barbosa, em Petrópolis, RJ, nos conta que em uma aula sobre PA, um aluno determinou o número de termos da PA de razão 4, (8, 12, 16, ..., 84), fazendo n = Curioso, parou de corrigir os outros exercícios que tinha passado para os alunos e foi tentar entender o que acontecia: De an = a1 + (n – 1)r vem n =
Logo, é possível calcular o número de termos de uma PA usando a expressão n = RPM A atitude do professor ao aceitar a solução do aluno, questionar sua correção e discutir o feito com o restante da classe foi muito positiva e produtiva para todos.
Uma questão de vestibular e dois caminhos para a solução Escreve-nos o colega Dirceu Aparecido Borges, de Campo Grande, MS, citando a questão de vestibular (UFMS, 2003/Inverno): Se N0 é o tamanho de uma colônia de bactérias em uma cultura no instante t = 0, então o tamanho da colônia num instante t > 0 será dado por N(t) = N0. eat, onde a constante a depende do tipo da bactéria e a variável t é dada em horas. Um experimento é iniciado com uma colônia de 100 bactérias e, após 12 horas, contou-se um total de 500 bactérias na colônia. Após 24 horas do início do experimento, o tamanho da colônia será de: (A) 1.000 bactérias (B) 2.000 bactérias (C) 2.500 bactérias (D) 2.675 bactérias (E) 3.045 bactérias. O colega apresenta dois caminhos de resolução, o primeiro deles consistindo em verificar que as informações do problema permitem concluir que a constante a é tal que e12a = 5, donde e24a = (e12a)2 = 25, o que leva à alternativa (C). O colega mostra que, se, em vez de recorrer a essa propriedade da exponencial, o estudante procurar determinar o valor de a para substituir na expressão dada, ele vai ter que trabalhar muito mais e ainda vai chegar a um número aproximado, tendo em vista as aproximações a que teve que recorrer quando usou o logaritmo. RPM De fato, está claro pelos dados do problema que a questão pretendia testar o uso dessa propriedade da exponencial. Acontece com frequência que os dados numéricos de um problema modificam completamente o processo de resolução. O professor deve ficar atento ao que ele pretende observar na resolução de uma questão ao escolher esses dados.
Demonstrações do teorema de Pitágoras Em relação ao artigo Mania de Pitágoras, republicado na RPM 74, na seção “Vale a pena ler de novo”, escreve-nos ainda o colega Dirceu Aparecido Borges informando que o livro de Elisha Scott Loomis, intitulado The Pythagorean Proposition, encontra-se em forma integral, em inglês, no site www.eric.ed.gov e, para acessá-lo, basta escrever no item “busca” o nome do autor.
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série, homenageou uma aluna que demonstrava grande interesse pela Matemática. A resolução levou duas semanas, mas ela e alguns colegas chegaram à resposta correta, fazendo jus à homenagem. Tratava-se de simplificar a seguinte expressão algébrica:
. Quando se usa que 15
. Surgiam, então, as perguntas naturais: Qual a resposta certa? O que há de errado nessas fórmulas? Era, então, que o professor recorria à Álgebra para provar que, de fato, são o mesmo número. O colega determina x e y tais que:
Piso do Cárcere Central” (Cartas do Leitor, RPM 06). Tratava-se de um colega preso por questões de ordem política. De um modo ou de outro, são pessoas que conseguem estudar em situações tão adversas quanto à falta de liberdade: nosso colega uruguaio e os alunos do colega Antonio, no início da sua carreira docente.
1 = 20, obtendo a resposta correta. O professor experimentou a “fórmula” na PA de razão 6, (12,18, 24, ..., 186), obtendo n = 
+ 1 e a “fórmula” do aluno será verdadeira se e somente se
+1 
a