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TRANSFORMAÇÕES DE POLIEDROS E Luiz Henrique Zeferino
Este artigo trata de um software que foi desenvolvido pelo autor para ser utilizado como ferramenta auxiliar da Matemática no ensino médio. O software está disponível para acesso dos leitores na página da RPM www.rpm.org.br no link “software Poliedros” O tópico aqui mostrado está relacionado com poliedros, mais precisamente com a transformação (por secções convenientes através de planos) de um poliedro primitivo em um poliedro derivado depois de truncaduras.
O objetivo inicial é determinar uma expressão que permita encontrar as coordenadas dos vértices do novo poliedro truncado. Tal expressão foi utilizada na implementação do software que permite transformar um poliedro em suas formas derivadas por truncadura num vértice. Dado um cubo de aresta a e distância d para secção nos vértices, tem-se um resumo de uma sequência de resultados obtidos com o software desenvolvido na figura a seguir.
figura 2: cubo de aresta a truncado à distância d nos vértices.
Uso de vetores O procedimento para encontrar os novos pontos (vértices do novo poliedro), após a truncadura, pode ser entendido como seccionar segmentos de retas no
Consideremos em um poliedro genérico (figura acima) o vetor
T(A,B) = A + Exemplo de aplicação dessa equação: Considerando-se um cubo de aresta 12 cm, centrado na origem de um sistema cartesiano de eixos no T(A, B) = (6, 6, 6) + 4/12[(– 6, 6, 6) – (6, 6, 6)] ou T(A, B) = (2, 6, 6). T(B, A) = (– 6, 6, 6) + 4/12[(6, 6, 6) – (– 6, 6, 6)] ou T(B, A) = (– 2, 6, 6). Analogamente, pode-se determinar os outros vértices T(I, J) e construir a tabela:
Comentários finais e conclusões Na tabela estão os vértices do sólido que aparece na figura 2d. No software desenvolvido, esses pontos são convenientemente unidos, através de um algoritmo que emprega matrizes (inclusive de rotação), para a visualização do poliedro desejado. Quando o valor de d tende a a/2, ou seja, no exemplo dado d tende a 6, tem-se que cada T(I, J) tende a M(I, J) e cada T(J, I) tende a M(I, J), sendo M(I, J) o ponto médio da aresta I J. Assim, chega-se ao poliedro da figura 2e como caso limite da transformação indicada na figura 2. Por outro lado, quando d tende a zero, qualquer T(I, J) tende ao vértice I e o sólido tende ao cubo da figura 2a. Obviamente, o uso de computador facilita as “continhas” (no icosaedro, por exemplo, elas são um pouco menos continhas...), fornece um forte argumento visual para a transformação que ocorre e, também, permite “ver” uma noção intuitiva de limite. Entretanto, nada poderia ser feito sem o conhecimento de toda a teoria matemática envolvida. De maneira análoga à feita com o cubo, podem ser realizadas transformações com outros poliedros. A fi gura 4 mostra exemplos com o tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro (nos casos do dodecaedro e icosaedro, os vértices utilizados foram os fornecidos na referência [4]).
figura 4: exemplos de truncaduras com: O uso de computador aumenta o interesse dos alunos (e também de professores!) nesse conteúdo e em muitos outros da Matemática. Além do computador, entretanto, trabalhar com construções empregando materiais variados é essencial: verifiquei que há grande satisfação dos alunos na construção desses sólidos com material concreto, como cartolina, canudos, etc., trabalhando em equipe ou não.
Referências bibliográficas [1] Gonçalves, A. Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, 1987.
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Truncadura em um vértice é a remoção de uma parte do poliedro original por meio de uma secção plana que intersecta todas as arestas concorrentes nesse vértice (ver [3]).
onde A e B são os extremos de uma aresta de comprimento a e o vetor unitário na direção de 
(A,B). Sendo d a distância entre o vértice A e o ponto T(A, B) no qual a aresta AB será seccionada, partindo-se de A na direção de B, com 0 < d < 
(no caso em que d > a/2, o problema a ser resolvido é diferente e não será exposto aqui), tem-se que:
= d .
e, como 
= a, vem que
(B 
A), 0 < d < 
.
