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Suely Druck – UFF
EXPLORANDO ALGUMAS QUESTÕES Um hábito importante, mas difícil de ser implementado entre os alunos, é o de refletir sobre a solução encontrada de um problema, se perguntar se existem outras ou mesmo testar se foram usadas as hipóteses fornecidas. Enfim: qual é a matemática que está por trás de um enunciado e de uma solução? Em geral a garotada considera que uma vez encontrada a solução, então “Inês é morta”, e o assunto está liquidado. Procurar outras soluções e principalmente entender por que uma determinada ideia conduz à solução ou por que uma hipótese é essencial são exercícios produtivos para o desenvolvimento do raciocínio matemático. Vamos ilustrar esse comportamento com duas questões da OBMEP 2010: a QUESTÃO 2 – NÍVEL 1, 2 Apresentamos as soluções publicadas no site www.obmep.org.br seguidas de comentários. QUESTÃO 2 – NÍVEL 1. Um “matemágico” faz mágicas com cartões verdes, amarelos, azuis e vermelhos, numerados de 1 a 13 para cada cor. Ele mistura os cartões e diz para uma criança: “Sem que eu veja, escolha um cartão, calcule o dobro do número do cartão, some 3 e • some 1, se o cartão for verde; Diga-me o resultado final e eu lhe direi a cor e o número do cartão que você escolheu.” a) Joãozinho escolheu o cartão vermelho com o número 3. Qual é o número que ele deve dizer ao matemágico? Solução: Para saber o número que deve dizer ao matemágico, Joãozinho deve fazer quatro contas: multiplicar o número no cartão escolhido por 2; somar 3 ao resultado da primeira conta; multiplicar por 5 o resultado da segunda conta; somar 1, 2, 3 ou 4 ao resultado da terceira conta, dependendo da cor do cartão escolhido. Como o número no cartão escolhido por Joãozinho foi 3, o resultado da primeira conta é 3 × 2 = 6; o resultado da segunda é 6 + 3 = 9 e o da terceira é 9 × 5 = 45. Por fim, como a cor do cartão escolhido por Joãozinho é vermelha, o resultado da quarta e última conta é 45 + 4 = 49. Assim, Joãozinho deve dizer “quarenta e nove” ao matemágico. b) Mariazinha disse “setenta e seis” para o matemágico. Qual é o número e a cor do cartão que ela escolheu? 1 2 • 6, se o cartão escolhido é verde; Desse modo, se Mariazinha disse 76 ao matemágico, seu cartão era verde e o resultado da terceira conta realizada por ela foi 76 – 1 = 75; o resultado da segunda conta foi 75 ÷ 5 = 15; o resultado da primeira conta foi 15 – 3 = 12 e o número no cartão escolhido por Mariazinha foi 12 ÷ 2 = 6. Conferindo: (2 × 6 + 3) × 5 + 1 = 76. 3 c) Após escolher um cartão, Pedrinho disse “sessenta e um” e o matemágico respondeu: “Você errou alguma conta”. Explique como o matemágico pôde saber isso. 1 2 3 Comentários: Essa é uma linda questão envolvendo álgebra e um dos principais resultados da Aritmética, o algoritmo de divisão euclidiana para números inteiros, com uma contextualização interessantíssima e instigante para os alunos. Uma ótima oportunidade para rever esse algoritmo, que estabelece que numa divisão entre os números inteiros, D e d, d ≠ 0, temos Dividendo = divisor × quociente + resto, sendo 0 É importante entender a unicidade, consequência de 0 37 = 5 × 4 + 17 (17 > 5); 37 = 5 × 5 + 12 (12 > 5); No entanto, existe apenas uma maneira de escrever 37 = 5 × q + r com 0 Voltando à questão do matemágico, a mágica está toda baseada na estratégia de controlar o algarismo das unidades dos números que aparecem na sequência – ideia da 2ª solução do item b). Detalhando, se x é o número que está no cartão, x = 1, 2, 3, 4, ..., 13, então, pelas instruções do mágico, podemos obter um dos quatro números:
Esses números satisfazem o algoritmo de divisão euclidiana, já que 1 < 5, 2 < 5, 3 < 5 e 4 < 5. Podemos, então, concluir que a cor do cartão é o resto de divisão por 5 do número obtido:
Na verdade nem todos esses números entram na brincadeira: o controle total que o mágico tem sobre os algarismos das unidades dos números da sequência permite que o mágico diga à queima-roupa quando a criança errou os cálculos. Vamos olhar o que acontece apenas com o algarismo das unidades:
Logo, as instruções do mágico conduzem apenas aos números terminados em 6, 7, 8 e 9. Assim, do grupo acima, temos que excluir os terminados em 1, 2, 3 e 4. Uma boa pergunta: Onde foi usada a informação de que os cartões são numerados de 1 a 13? Ela não foi usada porque é desnecessária para responder às perguntas propostas. No entanto, se, no item (b), 76 fosse substituído por 996, essa informação seria usada: já saberíamos que o cartão é verde (resto 1) e, resolvendo a equação 5(2x + 3) + 1 = 996, obteríamos x = 98, que não está em nenhum cartão. É bom notar que a informação que o mágico tem apenas 13 cartões de cada cor não infl uencia em nada a solução do problema. O mágico poderia ter quantos cartões quisesse de cada cor, 1 milhão ou mais, que ele saberia decidir a cor e o número escolhidos – apenas se o número final for muito grande, para resolver a equação ele poderia usar uma calculadora, afi nal mágicos modernos devem usar calculadoras! Duas sugestões: (1) Exercitar com os alunos outras “mágicas” que necessitem do controle dos algarismos das unidades. (2) Um bom material sobre o algoritmo da divisão euclidiana pode ser encontrado na Apostila 1 do material do Programa de Iniciação Científica da OBMEP (disponível no site da OBMEP). QUESTÃO 19 – NÍVEL 3 – 1 a) 48 cm b) 68 cm c ) 72 cm d) 82 cm e) 100 cm Solução: Sejam m e n as medidas dos lados do retângulo e l a do lado do quadrado (em centímetros); supomos que l = m – 5. Da igualdade das áreas segue a expressão (m – 5)2 = mn, que implica
Como m e n são números inteiros, é necessário que
Se para formar o retângulo aumentamos o lado do quadrado de 5 unidades, então, para obter a mesma área, a outra dimensão tem que ser diminuída (ver figura). Logo, o comprimento do retângulo será l + 5 e chamemos a largura de n. Da igualdade das áreas segue l 2 = n(l + 5), que implica n = Essa é uma equação com duas incógnitas e não temos uma “fórmula à mão” para resolvê-la. Uma maneira de resolver é primeiro, usar uma antiquíssima esperteza matemática: somar e subtrair um mesmo número a uma expressão. Assim, a expressão não se altera, apenas ela fi ca com outra cara, exatamente, no nosso caso, a que resolve a questão. Depois, vamos lembrar que procuramos apenas números inteiros (essa é a estratégia usada na solução apresentada, mas com outro algebrismo). Vejamos:
Como n e l – 5 são inteiros, então Uma pergunta: É necessário colocar no enunciado proposto que a largura também tem que ser um número inteiro? Note que n ser inteiro foi usado de modo fundamental para concluir que Uma sugestão: Examinar com os alunos se é possível resolver o mesmo problema substituindo 5 por qualquer outro número inteiro.
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multiplique o resultado por 5. Depois
solução: Ver site da OBMEP.
resto < divisor, ou melhor: Algoritmo da divisão euclidiana: dados inteiros D e d, d ≠ 0, existe um único par de inteiros q e r tais que D = d × q + r com 0 
também seja inteiro;
Comentários: Inicialmente é importante ficar claro que toda a questão matemática do problema se resume ao seguinte: Dado um quadrado de lado inteiro l, construir um retângulo com comprimento igual a l + 5 e largura igual a um inteiro, que tenha a mesma área do quadrado.
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é inteiro, e a única possibilidade para isso é l + 5 = 25. Logo, l = 20 e n = 16.