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Painel I Alexandre Machado Kleis
Acompanhando pela televisão a apuração dos votos do primeiro turno das eleições presidenciais, a certa altura a candidata mais votada tinha em torno de 46% dos votos entre os cerca de 85% já computados. Meu compadre Murilo me telefonou e perguntou se haveria segundo turno. Os repórteres estavam inseguros para responder a essa pergunta, pois enquanto na região Sul o índice de votos apurados ultrapassava 95%, na região Nordeste – reduto da candidata – menos de 80% das urnas tinham sido abertas. Sabendo que o segundo turno ocorre quando nenhum candidato atinge 50% dos votos mais um, se a candidata tinha 46% dos votos tendo sido aferidas 85% das urnas, quanto ela deveria obter nos 15% das urnas restantes para que o total ficasse superior a 50%? Para obter a resposta, basta fazer 0,85×0,46 + 0,15 x > 0,50, 0,15 x > 0,50 – 0,391 ou seja, x > 0,726. No caso, as pesquisas indicavam o Nordeste como a região mais favorável à candidata com 65% dos eleitores optando por ela. Baseado nisso, considerei altamente improvável que a candidata obtivesse mais do que 72% nas urnas restantes e respondi audaciosamente ao meu compadre: haverá segundo turno! É claro que eu não podia estar absolutamente certo de que isso de fato fosse ocorrer. Em primeiro lugar, as pesquisas eleitorais constituem apenas uma previsão, sempre com algum grau de incerteza, sobre o resultado final da votação, que poderia se revelar incorreta ao final da apuração. Além disso, eu só dispunha de informações sobre os resultados das pesquisas em cada uma das grandes regiões geográficas e não poderia determinar, a partir delas, a proporção esperada dos votos da candidata entre os votos ainda não apurados. Poderia ocorrer, por exemplo, que os votos restantes viessem de regiões distantes das capitais e que nelas a votação tivesse sido esmagadoramente favorável à candidata. Essa possibilidade, entretanto, pareceu-me bastante remota e eu estaria disposto a afirmar que haveria mesmo o segundo turno. Eu estaria mesmo disposto a fazer uma conjectura mais audaciosa: em nenhum momento da apuração, os votos ainda não apurados dariam uma proporção para a candidata mais votada maior do que a porcentagem de 65% dos eleitores prevista pelas pesquisas no Nordeste. Baseado nessa premissa, é possível responder à seguinte pergunta: Considerando que a candidata mais votada tem uma certa porcentagem dos votos apurados, a partir de que porcentagem de votos apurados é possível Suponhamos que tenham sido apurados U% do total de votos e a candidata está com V% dos votos apurados. Para haver segundo turno, devemos ter
Supondo que a candidata detém 46% dos votos apurados, precisamos ter
Ou seja, com 79% dos votos apurados, e sempre admitindo a hipótese de que a proporção dos votos na candidata não superará os 65% dos votos restantes, já poderíamos afi rmar que haveria segundo turno. Uma observação final: embora meus cálculos dependam de uma hipótese adicional (que considero provável, mas não decorre das informações disponíveis) e algumas suposições tenham ficado implícitas (por exemplo, que a porcentagem de votos brancos e nulos se mantenha constante), certamente não se precisaria esperar até ter 96% dos votos apurados (como a emissora de TV esperou) para anunciar que haveria nova disputa. De fato, mesmo supondo que 100% dos votos válidos restantes sejam para a candidata mais sufragada (e a proporção de votos nulos e brancos se mantenha), os mesmo cálculos (com 100% no lugar de 65%) dariam U > 92,6%!
Painel II Luís Felício Machado Teles
Em uma seção de apoio pedagógico no colégio em que leciono, um aluno me perguntou: Tomamos vários exemplos com coefi cientes ímpares: x2 + 5x + 3 = 0; 11x2 + 7x – 13 = 0 ou x2 – x – 1 = 0 e verificamos que neles as raízes são reais irracionais. O próprio aluno observou que examinar exemplos não era suficiente: Precisamos, então, provar a afirmação: Se três inteiros ímpares a, b e c são tais que a equação ax2 + bx + c = 0 tem raízes reais, então essas raízes são irracionais. Prova Vamos supor, por absurdo, que um número racional escrito na forma de uma fração irredutível Então, Como p e q não podem ser ambos pares (a fração p par e q ímpar Nesse caso, ap2 seria par, bpq seria par e cq2 seria ímpar. Sendo assim, a soma ap2 + bpq + cq2 resultaria um número ímpar, logo não poderíamos ter essa soma igual a zero – caso impossível. p ímpar e q par Nesse caso, cq2 seria par, bpq seria par e ap2 seria ímpar. Sendo assim, a soma ap2 + bpq + cq2 resultaria um número ímpar, logo não poderíamos ter essa soma igual a zero – caso impossível. p ímpar e q ímpar Nesse caso, cq2 seria ímpar, bpq seria ímpar e ap2 seria ímpar. Sendo assim, a soma ap2 + bpq + cq2 resultaria um número ímpar, logo não poderíamos ter essa soma igual a zero – caso impossível. Portanto, nenhum número racional pode ser raiz da equação. Logo, as raízes reais são irracionais. Observamos que não vale a recíproca do resultado demonstrado, isto é, podemos ter uma equação ax2 + bx + c = 0 com coeficientes inteiros não todos ímpares e com raízes reais irracionais, como mostra o exemplo 2x2 – 7x – 8 = 0 cujas raízes são dadas por Também podemos ter equações com coeficientes inteiros ímpares e raízes complexas, como, por exemplo, x2 + x + 1 = 0. _________________________
As “pétalas” da flor são triângulos e seus vértices devem ser preenchidos com os números de 1 a 9, sem repetição, de modo que a soma dos vértices de cada triângulo seja 12. Repita o procedimento para soma 15 e soma 18. Enviado por Albérico Henrique dos Santos. |
grau, ax
, q ≠ 0, seja raiz da equação ax
=0 ou ap
.
Recreação