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O matemático britânico John H. Conway criou, em 1970, o Jogo da Vida, motivado por um dos problemas matemáticos mais famosos da década de 1940, que era o de achar uma máquina capaz de construir cópias de si mesma, solucionado de maneira extremamente engenhosa e complicada pelo renomado matemático John von Neumann. O Jogo da Vida é um exemplo fascinante, e talvez o mais famoso, de como regras fixas e simples podem gerar comportamentos extraordinariamente complexos. Nesse caso, a riqueza das formas e comportamentos é tal que dá mesmo a impressão do surgimento de um “miniuniverso” (sem criador?). Daí o nome do jogo! Esse jogo tornou-se mundialmente famoso, já foi capa da revista Scientific American (janeiro/1971) e até originou uma nova área – Autômatos Celulares –, que estuda estruturas matemáticas úteis em simulações de processos físicos e biológicos e que, em um nível teórico, podem se comportar como computadores. A ação se desenrola num tabuleiro de xadrez de dimensões abitrariamente grandes. Cada célula (isto é, cada casa do tabuleiro) de uma configuração inicial, semente do sistema, tem dois estados possíveis: viva e morta. As gerações se sucedem segundo as regras a seguir, em que vizinhança inclui as células à direita, à esquerda, a de cima, a de baixo e as quatro diagonais: 1. uma célula viva permanece viva se tiver 2 ou 3 células vizinhas vivas; 2. uma célula morta ganha vida se tiver exatamente 3 células vizinhas vivas; 3. uma célula viva, com menos de 2 ou mais de 3 células vizinhas vivas, morre (de solidão ou superpopulação).
Exemplo de duas gerações consecutivas
A célula a4 permanece viva porque tem duas vizinhas vivas (a3, b4); a célula b5 ganha vida porque tem três células vizinhas vivas (a4, b4, c4); a célula b1 morre porque só tem uma vizinha viva (c2); a célula b2 permanece morta porque tem quatro células vizinhas vivas (a3, c3, c2, b1) e assim por diante. Muitos tipos diferentes de desenvolvimento ocorrem no Jogo da Vida, incluindo “vida eterna”, “osciladores” (configurações periódicas), “naves espaciais” (que seguem seu caminho no tabuleiro conforme o tempo passa), populações que se extinguem, populações que têm crescimento infi nito, etc. A seguir, apresentamos alguns exemplos de configuração inicial e convidamos o leitor a jogar ou a apresentar o jogo como uma atividade para seus alunos. Vida eterna Naves espaciais
Populações que se extinguem
Osciladores
Conway conjecturou originalmente que nenhuma configuração inicial, com um número finito de células vivas, levaria a um crescimento infinito. Ele ofereceu um prêmio em dinheiro para a primeira pessoa que provasse a verdade ou a falsidade da conjectura antes do fim de 1970. O prêmio foi ganho em novembro desse ano por um grupo do Massachusetts Institute of Technology. Desde então foram encontradas imagens mais simples que têm crescimento infinito. Mostramos três exemplos abaixo. A primeira tem apenas 10 células vivas (provou-se que 10 é o número mínimo para crescimento infinito) e a terceira possui apenas 1 célula de altura.
Este texto foi baseado na “Galeria de matemáticos” do Jornal de Matemática Elementar, n Recomendamos aos leitores os sites:
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272, Lisboa, jan/fev/mar 2009 e no site http://pt.wikipedia.org/wiki/Jogo_da_vida (acesso 16/11/2010).