Vincenzo Bongiovanni
UNIBAN – SP

O artigo do professor Geraldo Ávila (RPM 62) que trata do ensino do Cálculo no ensino médio estimulou-me a revisitar a fórmula do volume do cone, apresentada nos livros didáticos, a partir do princípio de Cavalieri. Este texto propõe uma abordagem para o cálculo desse volume, apoiada no conceito intuitivo de limite.

Problema proposto

Deseja-se obter a fórmula para o volume de um cone circular reto, de raio de base R = 6 cm e altura h = 10 cm, conhecendo-se a fórmula do volume de um cilindro.

Para isso, sugere-se aos alunos dividir a altura do cone em duas partes iguais e aproximar o volume do cone pela soma dos volumes dos cilindros (ver figura na próxima página). Em seguida, dividir a altura do cone em quatro partes iguais e aproximar o volume do cone pela soma dos volumes dos quatro cilindros.

A solução esperada envolve a determinação dos volumes de dois cilindros no primeiro caso e de quatro cilindros, no segundo caso. A seguir, uma pergunta aos alunos: em qual dos dois casos o volume encontrado estará mais próximo do volume do cone?

Pela observação das duas figuras, espera-se que os alunos concluam que, ao dividir a altura em quatro partes iguais, a soma dos volumes dos cilindros estará mais próxima do volume do cone.

Na etapa posterior, o professor pode sugerir que o segundo caso (dividir a altura em quatro) seja calculado com um raio genérico R e uma altura h. Sendo AM a altura do cone, o raio da base do primeiro cilindro será R, do segundo cilindro 3R/4, do terceiro cilindro 2R/4 e do último cilindro R/4 . Para obter esses resultados, basta observar, na figura abaixo, que os triângulos AGF, AHE, APD e AMC são semelhantes.

O cone de vértice A e base BC é representado no plano por um triângulo ABC.

Os volumes dos cilindros serão respectivamente:

A soma, V, dos volumes dos quatro cilindros será:

Na etapa seguinte, o professor pode propor aos alunos imaginar a divisão da altura h não em quatro partes iguais, mas em n partes iguais, e solicitar uma expressão para a soma V dos volumes dos n cilindros.

Por analogia, a expressão será: V = (12 + 22 + 32 + 42 +...+ n2).

O valor da soma dos n primeiros quadrados é conhecido (ver, por exemplo, RPM 69, p. 41): 12 + 22 + 32 + 42 +...+ n2 =

Logo, temos que a soma, V, dos volumes dos n cilindros é dada por

Finalmente, o professor pode propor o uso da fórmula acima e de uma calculadora para obter valores de V (soma dos volumes dos n cilindros) para o cone de raio 6 cm e altura 10 cm, para n = 2, n = 4, n = 10, n = 100, n = 1 000, n =10 000, n = 100 000 e n = 1 000 000:

Para valores de n cada vez maiores, os valores de se tornam tão próximos de zero quanto se quiser e a soma dos volumes dos cilindros, V = , se aproximará cada vez mais e tanto quanto se quiser do valor V = , que será o volume do cone. Nesse exemplo, para R = 6 cm e h = 10 cm, usando a fórmula V = teremos para o volume do cone o valor aproximado 376,9911184 cm2.

Nota da redação

Obter as fórmulas que exprimem o volume de sólidos familiares, como pirâmides, prismas e cilindros, sem apelo ao Princípio de Cavalieri é uma prática justificável por evitar o uso de uma proposição que, embora intuitivamente bastante aceitável, não é demonstrável de modo elementar. Deve ficar claro, entretanto, que essa troca tem um custo, que é a manipulação do conceito de limite. Outra coisa a salientar é que o método de aproximar uma figura por outras mais simples, inscritas e circunscritas, funciona para volumes e para áreas de figuras planas, mas não para áreas de superfícies curvas, nem para comprimentos de curvas (planas ou espaciais).

As áreas da superfície de um cone ou de um cilindro podem facilmente ser calculadas, pois essas superfícies são “desenvolvíveis”, isto é, podem ser desenroladas, sem alterar suas áreas, até ficarem planas, virando um setor circular ou um retângulo respectivamente.

O mesmo não ocorre com a esfera, que não é desenvolvível e, embora seu volume também possa ser obtido inscrevendo nela cilindros, sua área requer mais trabalho para ser obtida. Mesmo no caso do cilindro, se tentarmos obter a área de sua superfície inscrevendo nele poliedros cada vez mais próximos, seremos levados a resultados absurdos.