 |
|
|
|||
 |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|||||
Painel I José Luiz Pastore de Mello Ninguém recebeu mais críticas durante a Copa do Mundo de futebol do que a Jabulani, a bola oficial do torneio. Ela foi chamada pelos jogadores de “bola de supermercado” (Júlio César), “bola sobrenatural” (Luis Fabiano), e até de “bola patricinha” (Felipe Melo). A história moderna da bola de futebol remonta à Copa de 70, ocasião em que o mundo foi apresentado a uma bola de futebol cuja forma se mostrou tão conveniente que permaneceu em uso até o recente aparecimento da Jabulani. A concepção da bola consagrada em 70 foi inspirada em um conhecido poliedro convexo, investigado por Arquimedes, denominado icosaedro truncado. O icosaedro regular é um poliedro convexo de 20 faces triangulares (figura 1), e o icosaedro truncado um poliedro convexo obtido após fazermos “cortes” nos vértices do icosaedro regular (figura 2). Poliedros cujas faces regulares são de mais de um tipo, como o icosaedro truncado, que possui faces pentagonais e hexagonais, recebem o nome de sólidos deArquimedes. Desde os anos 70, portanto, a fabricação da bola tradicional de futebol é feita inflando-se um icosaedro truncado de faces flexíveis até se obter um sólido “suavemente esférico”. Uma das novidades introduzidas pela Jabulani é o fato de que o poliedro de material flexível inflável nela utilizado é composto apenas por pentágonos regulares, ou seja, é um dodecaedro (figura 3), como se vê no vídeo da sua fabricação (consultado em 26/07/10): http://www.youtube.com/watch?v=btNC2VS9UGI De acordo com estudos em túneis de vento feitos pela agência espacial norte-americana (NASA), levantou-se a hipótese de que a trajetória irregular da Jabulani poderia estar associada às suas costuras exteriores e ao baixo peso da bola, porém talvez a Matemática possa colocar um pouco mais de fogo nessa discussão.
Observando a planificação dos vértices poliédricos da Jabulani e da bola tradicional (figuras 4 e 5), note que o “ângulo de folga” com relação a 360° é menor na bola tradicional (12°) do que na Jabulani (36°), o que, em última análise, implica dizer que, quando inflada, a bola tradicional irá gerar uma superfície “suavemente mais esférica” do que a Jabulani, e talvez menos suscetível às trajetórias irregulares quando impulsionada por um chute. Essa hipótese poderia ser testada nos túneis de vento usando-se a mesma superfície externa da atual Jabulani, porém com um icosaedro truncado inflável, em vez de um dodecaedro na sua parte interna. Fica a sugestão para a NASA! Por hora, a única coisa que sabemos é que a trajetória da Jabulani parece mesmo ser irregular, e que podemos propor um novo apelido a ela: Jabulani, a “bola não arquimediana”.
Rogério César dos Santos
No restaurante aqui perto de casa, o preço do quilo da comida é R$ 20,00. Se o cliente, no entanto, colocar apenas carne no prato, o preço aumenta para R$ 32,00. E isso acontece em muitos restaurantes “por quilo”. Daí eu pensei: se uma pessoa quisesse levar 500g de carne, pagaria R$ 16,00. Mas seria possível ela levar os mesmos 500g de carne, com os mesmos R$ 16,00, acrescentando outros alimentos? Vejamos: misturando 500g de carne a outros alimentos, o preço do quilo cai para R$ 20,00. Então, com R$ 16,00, posso comprar O problema é que, nesse caso, a carne equivaleria a Aliás, a porcentagem 62,5% é sempre a mesma, qualquer que seja a quantidade desejada de carne. Veja: Suponha que eu queira x kg de carne. Então eu deveria pagar 32x reais. Quanto de comida, a R$ 20,00 o quilo, eu poderia comprar com esses 32x reais? A resposta é É claro que esses resultados servem apenas como curiosidade, pois nenhum restaurante aceitaria que um prato contendo 62,5% de carne fosse pesado como prato comum.
Painel III Sézani Morais Gonçalves de Carvalho Há alguns dias, eu estava assistindo a um filme denominado Peixe grande (2003), quando uma cena chamou minha atenção: uma garota, com 8 anos de idade, dialoga com um rapaz de 18 anos, fazendo uma observação relacionada às suas idades: – Quantos anos você tem? Fiquei pensando por alguns instantes sobre o que havia acabado de presenciar no filme. O que diríamos ao observar um jovem casal de namorados, ele com 18 anos e ela com 8 anos de idade? Porém, o que aos nossos olhos parece estranho e aos “olhos” da lei, proibido, não ocorreria se os dois fossem pacientes e esperassem por mais alguns anos, como a garota propôs em seu diálogo. Se esperassem 10 anos, eles teriam 28 e 18 anos de idade, e aquilo que parecia estranho passaria a ser normal e legal. Se formos além, a diferença aparente de idade vai se tornando cada vez mais irrisória (embora permaneçam os mesmos 10 anos); imaginem ele com 98 e ela com 88 anos de idade. Aparentemente estariam tão próximos que ninguém perceberia a diferença de idade entre ambos. A Matemática ajuda a compreensão do que se passa numa situação como essa. Chamando de x a idade da garota, a fração Sejam f (x)=
Observe que, com o passar dos anos, a diferença f(x) – (x) vai se tornando insignificante.
Curiosidade Tendo eu 33 anos de idade, até o momento vivi aproximadamente 289.080 horas (33 × 365 × 24), ou seja, 1 hora representa, para mim, aproximadamente 1/ 289.080 da minha atual existência. Se fosse possível que eu atingisse a idade de 289.080 anos, 1 ano representaria 1/ 289.080 dessa minha existência hipotética. Logo, com essa idade tão avançada, eu veria passar 1 ano com a “velocidade” que hoje vejo passar 1 hora.
|
= 0,8kg = 800g, de comida. Se, desses 800g, eu quero 500g de carne, devo colocar 300g de outros alimentos.
= 0,625 = 62,5% do prato de comida. Ou seja, eu teria que convencer o funcionário responsávelpela balança que um prato com 62,5% de carne deve ser vendido a R$ 20,00 o quilo e não a R$ 32,00. Se conseguir isso, levo 300g de comida “de graça”.
= 62,5%. Conclusão: em vez de você encher o prato apenas com x kg de carne, acrescente mais 0,6x kg de outros alimentos. Daí você pagará apenas R$ 20,00 o quilo e não R$ 32,00. Você gastará os mesmos 32 reais, mas com a diferença de levar 0,6x kg a mais de comida.
representa o quanto cada ano representa da sua vida já passada. A idade do rapaz será x + 10 e, analogamente, a fração 
representa o quanto cada ano representa da sua vida já passada.