Jesús A. Pérez Sánchez
Venezuela

Minha cidade tem lagoas, montanhas com neve, lindas paisagens... e hoje é feriado. Tem passeio com Pedro, meu vizinho, o Biólogo. Ele é um grande ecologista e, além disso, gosta muito de Matemática. Por sinal, com outros amigos, organizamos um grupo de estudo: amigos da Matemática. Cada fim de semana estudamos um tema de Matemática Elementar. Por exemplo, na última reunião abordamos os teoremas de congruência de triângulos (Geometria Euclidiana).

A caminhada começou cedo e já percorremos boa parte do trajeto. Deparamos com árvores frondosas, córregos, pássaros gorjeando, borboletas, ... Aí, logo vem à minha memória um teorema de Geometria Euclidiana (o teorema da borboleta) e, ao chegar a uma planície arenosa, falo para Pedro, enquanto vou desenhando no solo (figura 1):

Numa circunferência, consideremos uma corda qualquer AB; seja M o ponto médio de AB. Tracemos por M outras duas cordas, digamos, PQ e RS. Suponhamos que X é a interseção de PR com AB e que Y é a interseção de QS com AB. Então, M é o ponto médio de XY.

Por enquanto, vamos tratar um caso especial (figura 2).

Sejam: O, centro da circunferência; cordas AB, PQ e RS, diâmetros; AÔR = QÔB.

Da congruência dos triângulos isósceles POR e QOS deduz-se que PO = SO . A seguir, comparando os triângulos XOR e QOY, vemos que eles são congruentes e daí resulta que O é o ponto médio de XY.

O caso geral teria que esperar a realização de algumas sessões no nosso grupo, após termos estudado semelhança de triângulos, o teorema do ângulo inscrito, o teorema das cordas secantes...

Aí, a prova seria deste jeito:

Traçamos XX1 e XX2, perpendiculares, respectivamente, a RS e PQ (figura 3). Analogamente,desenhamos YY1 e YY2, também perpendiculares, respectivamente, a RS e PQ. Para os comprimentos dos segmentos usaremos as notações:

a = AM = MB; MX = x; MY = y; MX1 = x1;
MX2 = x2; MY1 = y1 e MY2 = y2.

Por outro lado, são semelhantes os seguintes pares de triângulos:

MX1X e MY1Y ; MX2X e MY2Y ; RX1X e QY2Y ; PX2X e SY1Y.

Então, estabelecendo as respectivas proporções, temos:

E, daí, sendo a última igualdade obtida do teorema das cordas secantes. Assim, .

Então, x2 (a2 y2 ) = y2 (a2 x2 ) ou x2a2 = y2a2 .

Isto é, a2(x – y)(x + y) = 0, ou seja, x = y, como queríamos provar.