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Responsáveis
Nota: O professor Antônio Luiz Pereira assumiu uma nova função na USP e por isso, temporariamente, deixará de ser um dos responsáveis por esta seção. No seu lugar, a professora Maria Elisa E. L. Galvão ajudará a dar continuidade ao trabalho de responder às perguntas enviadas por nossos leitores.A RPM expressa sinceros agradecimentos ao professor Antônio LuizPereira pela sua valiosa colaboração e dá as boas-vindas à professora que agora integra a equipe.
Um pedido de ajuda Dessa vez é a Seção que pede ajuda ao leitor: Um professor do Rio de Janeiro enviou o seguinte problema: Em um triângulo ABC, com AB = AC, a bissetriz do ângulo B determina sobre o lado AC o ponto D tal que BC = BD + AD. Determine o ângulo A. O leitor conhecia a resposta: A = 100º, mas não sabia como achá-la. RPM O problema foi resolvido pela RPM usando trigonometria. O caminho consiste em aplicar a lei dos senos nos triângulos ABC, ABD e BCD, o que faz com que apareça a igualdade:
O que a RPM gostaria de obter é uma solução puramente geométricadesse problema e daí o apelo que está sendo feito aos nossos leitores. O primeiro leitor que a mandar receberá gratuitamente a próxima assinatura da RPM.
Tangente é uma função crescente? De um leitor do Rio de Janeiro: Em vista de artigo da RPM 72 (p. 41), solicito um esclarecimento. “Tudo bem” que a função tg x é contínua em RPM Usualmente, estuda-se a propriedade de uma função ser crescente em intervalos contidos em seu domínio. Assim, a função tangente é crescente em todos os intervalos em que está definida. Caso se queira olhar para a função em todo o seu domínio, uma união de intervalos disjuntos, então a função tangente não é crescente, pois, por exemplo, 1 < 2, mas tg1 > tg2 (observe que 1 e 2 são valores pertencentes a diferentes intervalos do domínio). Como lidar com “valor absoluto”? Um leitor de São Paulo pediu que fosse esboçado o gráfico de f(x)=||2x + 1| – 3|. RPM
Vamos mostrar dois possíveis caminhos para esboçar o gráfico pedido pelo leitor, sendo o primeiro deles o seguinte: A definição de valor absoluto é: | x | = x se x Analogamente, a função y = | 2x + 1|
As representações gráficas para y = | 2x + 1| e y = | 2x + 1| – 3 são as figuras 2 e 3, respectivamente.
Para obter a representação gráfica para a função y = || 2x + 1| – 3 | (figura 4) podemos tomar o simétrico, em relação ao eixo Ox, da parte do gráfico de y = | 2x + 1| – 3 contida no semiplano y < 0. Um outro caminho é analisar detalhadamente os sinais das expressões envolvidas quando estudamos y = || 2x + 1| – 3 | usando, diretamente, a definição da função módulo. Se x Se x < – 1/2, f(x) = |–2x – 1 – 3| = |–2x – 4| = Esquematizando:
Agora basta esboçar os gráficos das retas correspondentes a cada intervalo, obtendo uma figura análoga à figura 4.
Sudeste? De um leitor de Taguatinga: Caros colegas, o teste abaixo está no vol. 3 da coleção FME. Eu não consegui resolvê-lo porque não soube esquematizar. Não sei em qual seção o teste se encaixa. TC.207 (ITA-74): Deseja-se construir uma ferrovia ligando o ponto A ao ponto B que está 40 a) RPM
Ovo de Colombo Um professor do Ceará pediu a solução de um problema de aparência assustadora: Encontre todas as soluções do sistema: RPM Esta solução foi apresentada à RPM pelo professor Daniel V. Tausk do IME-USP, e o “ovo de Colombo” consiste em fazer x + log(x +
Vamos mostrar que, se x > 0, então f (x) > x e, se x < 0, então f (x) < x. De fato, x > 0 Þ x + f(x) = x + log(x + x < 0 Þ 0 < x + f(x) = x + log(x + Assim, se x > 0, calculando f(f(f(x))): x > 0 Þ f(x) > x > 0 Þ f(f(x)) > f(x) > x > 0 Þ f(f(f(x))) > f(f(x)) > f(x) > x. Ou seja, se x > 0, f(f(f(x))) é maior do que x; analogamente, se x < 0, o valor de f(f(f(x))) é menor do que x. Logo, x não pode ser nem positivo e nem negativo. A única solução é, portanto, x = 0, que leva a x = y = z = 0.
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sendo 2x o ângulo da base do triângulo isósceles ABC. Com muitas transformações trigonométricas c
+ kπ, k 
}, mas seria correto dizer que essa função é crescente em 
Apesar de o assunto ser frequentemente tratado em textos didáticos, resolvemos abordá-lo na seção devido ao grande número de perguntas que recebemos relacionadas ao “valor absoluto”.
0 e | x | = –x se x < 0.
e com y = –2x – 1, se 2x + 1 < 0, ou seja, se x <–
Observamos que o gráfico da figura 3 é obtido do da figura 2 fazendo uma translação de três unidades na vertical, para baixo.
km a sudeste de 
km b) 
km c) 
km d)
km e) nda.
Para resolver o problema, informou Edson Abe, é necessário saber que a palavra sudeste (SE) indica a direção da bissetriz do ângulo reto formado pelas direções sul e leste, como indica a “rosa dos ventos” da figura.
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) = f(x) e observar que o sistema se reduz a
ou seja, x = f(f(f (x))).