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Eduardo Tengan e Élvia Mureb Sallum
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RPM – Problemas
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As soluções dos problemas 311 a 315 serão corrigidas apenas se enviadas até 28 de fevereiro de 2011.

311

Mostre que existe um hexágono convexo cujos ângulos internos são todos iguais e cujos lados medem 1, 2, 3, 4, 5 e 6 cm (em alguma ordem).

312

Qual o valor da soma

313

Seja M um ponto no lado AB do triângulo ABC. Sejam r1, r2 e r os raios das circunferências inscritas nos triângulos AMC, BMC e ABC, respectivamente. Sejam q1, q2 e q os raios das circunferências exinscritas dos mesmos triângulos que estão no ângulo AB . Prove que

314

Determine todos os inteiros positivos x e y que satisfazem a equação

x2 + 2 = 5y.

315

Mostrar que n2 + 3n + 5 não é divisível por 121, qualquer que seja n inteiro.

Probleminhas

1

Só com símbolos matemáticos e cinco zeros, obtenha o número 120.

2

Ao sair, eu tinha menos do que 100 reais. Gastei a metade do que tinha. O número de centavos que tenho agora é igual ao número de reais que eu tinha ao sair e o número de reais que tenho agora é igual à metade do número de centavos que eu tinha ao sair. Com quanto eu saí?

3

Os hinos de um livro estão numerados de 1 a 700. Todo domingo, a congregação de uma igreja deve cantar 4 hinos diferentes. Num quadro são colocadas plaquetas, um algarismo em cada, anunciando simultaneamente os 4 hinos que serão cantados (por exemplo, são anunciados os hinos 31, 101, 112 e 120). As plaquetas com o algarismo 6 podem ser invertidas e indicar 9. Qual é o número mínimo de plaquetas que devem ser confeccionadas para poder indicar qualquer grupo de 4 hinos do livro?

Soluções dos problemas propostos na RPM 71

301

a) Fatore a4 + 4b4.

b) Simplifique

Solução

a) Temos

a4 + 4b4 = a4 + 4b4 + 4 a2 b2– 4 a2 b2 = (a2 + 2b2)2 – 4 a2 b2 =
(a2 + 2b2 + 2ab) (a2 + 2b2 – 2ab).

b) Seja E =

Como 324 = 4 × 34, usando a fatoração da parte a), podemos escrever

104 + 4 × 34 = (102 + 2 × 32 + 2 × 10 × 3) (102 + 2 × 32 – 2 × 10 × 3) =
(100 + 9 + 9 + 60)(100 + 9 + 9 – 60) = (169 + 9)(49 + 9) = (132 + 32) (72 + 32).

Repetindo esse procedimento para os outros fatores, obtemos:

Logo, E = =373

(Solução enviada por vários leitores.)

302

Encontre todas as funções f : ® tais que f (f (x) – y) + f (y) = f (x + f (y)) – y para quaisquer x, y .

Solução

Seja f uma função que satisfaz a igualdade do enunciado do problema. Observemos inicialmente que, se x = y = 0, então f (f (0)) + f (0) = f (f (0)), logo f (0) = 0. Fazendo y = 0, temos, para qualquer x real: f (f (x)) = f (x). Tomando x = 0, temos para qualquer y real: f (– y) + f (y) = f (f (y)) – y = f (y) –y, ou seja, f (– y) = – y. Então, f (y) = y para qualquer y real.

Por outro lado, é fácil verificar que a função identidade, f(x) = x, satisfaz a igualdade f (f (x) – y) + f (y) = f (x + f (y)) – y para quaisquer x, y .

Logo, a identidade é a única função solução.

(Solução enviada por vários leitores.)

303

Determine o número de matrizes A de tamanho 2010 × 2010 satisfazendo simultaneamente as seguintes duas condições:

i) as entradas de A são ou 0 ou 1;

ii) a quantidade de 1’s em cada linha e em cada coluna de A é par.

Solução

Suponha que as 2009 primeiras linhas da tabela tenham sido preenchidas de modo que a quantidade de 1’s em cada linha é par. Então a última linha só pode ser completada de uma única maneira, de modo que a quantidade de 1’s em cada coluna seja par.

Neste caso, temos automaticamente que a quantidade de 1’s na última linha também é par: a quantidade total de 1’s na tabela inteira é par (pois há um número par de 1’s em cada coluna) e a quantidade de 1’s em cada uma das 2009 linhas restantes também é par por hipótese.

Logo, o total de 1’s na última linha é a diferença de dois números pares, que é par.

Assim, o número de maneiras de preencher a tabela satisfazendo as condições do enunciado é igual ao número de maneiras que preenchermos as 2009 primeiras linhas de modo que cada linha tenha uma quantidade par de 1’s. Mas uma linha pode ser preenchida de 22009 maneiras de modo que a quantidade de 1’s seja par: basta preencher as 2009 primeiras posições de modo arbitrário, o que determina o último algarismo a ser preenchido; como para cada posição há duas possibilidades, obtemos 22009 maneiras de preenchermos tal linha.

Assim, o total pedido é (22009 )2009 = 2.

(Solução enviada por Warles Ribeiro Neto.)

304

Determine todos os números reais positivos x e y que satisfazem o sistema

Solução

Multiplicando a segunda equação por i e somando à primeira, obtemos

x3 3xy2 + (3x2y y3)i = (x + yi)3 = cos120o + isen120o.

Como x e y são reais positivos, pela fórmula de Moivre temos

(Solução adaptada das enviadas por diversos leitores.)

305

Duas circunferências G1 e G2 são tangentes internamente no ponto M, sendo G1 a circunferência exterior. Uma reta tangencia G2 no ponto P ≠ M e corta G1 nos pontos Q e R. Prove que os ângulos QP e RP têm medidas iguais.

Solução

1 Solução

Na figura 1: os ângulos QT e MQ compreendem o mesmo arco na circunferência G1, logo têm a mesma medida x. O triângulo MPT é isósceles; logo, a medida do ângulo MT é igual a x + b. Mas MT é ângulo externo do triângulo MPR; logo, sua medida é igual a x + a. Segue a = b.

2 Solução

Na figura 2, vemos os ângulos inscritos ou semi-inscritos em G1 ou G2 com as medidas marcadas, sendo iguais naqueles ângulos que compreendem os mesmos arcos.

Como 180o = a + d + g + b e no triângulo MQP, 180o = b + a + 2d, segue que d = g.

(Soluções enviadas por vários leitores.)

Respostas dos Probleminhas

1 (0! + 0! + 0! + 0! + 0!)!
2 R$ 99,98.
3 81.