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Élvia Mureb Sallum Neste trabalho veremos que, cortando uma região poligonal por um número finito de retas e justapondo as peças, ela pode ser transformada num quadrado. Atingiremos nosso objetivo depois de mostrar, uma a uma, as seguintes decomposições: de um retângulo em um quadrado, de um retângulo em outro retângulo de base unitária, de um triângulo em um retângulo e a de um polígono em um retângulo. Como consequência teremos que, dadas duas regiões poligonais de mesma área, uma pode ser decomposta de modo que justapondo as peças se obtenha a outra. Em cada passo, os alunos poderão observar fisicamente as afirmações desenhando, recortando e compondo em papel-cartão ou outro material. Decomposição de retângulo em quadrado Todo retângulo pode ser transformado num quadrado decompondo-o com cortes retilíneos e justapondo as peças. De fato: Dado um retângulo ABCD de lados AD = a e AB = b, com a > b, considere c tal que c2 = ab, marque os pontos E ∈ AD e F ∈ BC, com FC = AE = c, e faca cortes pelo segmento DF pelo segmento EJ paralelo a base AB.
Nas três figuras acima, em que completamos o quadrado AEHG, tem-se as congruências ΔDCF ≡ ΔJHG (LAAo) e ΔDEJ ≡ ΔFBG (ALA) . Por isso, no caso c
Decomposição de retângulo em retângulo de lado unitário Inicialmente desenhamos o retangulo ABCD com os lados a e b tais que a < 1 < b. Construímos o triângulo retângulo DEC com hipotenusa CE = 1 e o retangulo CEFG com a reta FG passando em B com tantas cópias justapostas quanto precisarmos. As figuras abaixo indicam diversas possibilidades quando a < 1.
Em qualquer caso, pode-se verificar que, recortando e justapondo adequadamente as peças de ABCD, obtem-se o retângulo CEFG com a base CE = 1.
Para o caso em que a > 1, basta decompor o retângulo inicial em outros de base 1, empilhar um em cima do outro, aplicar o método acima para o retangulo de base menor que 1, se sobrar, e junta-lo à pilha. Observar que esse método permite decompor um retângulo de modo a obter um outro com base menor dada, cuja medida é considerada a unidade 1. Assim, dados dois retângulos de mesma área, e possível recortar e compor as peças de um deles e obter um retângulo congruente ao outro. Como? Decomposição de triângulo em retângulo Dado um ΔMNO, considere o retângulo MNUQ com o lado QU passando pelo ponto médio R do lado OM. Como ΔOST ≡ ΔNUT e ΔORS ≡ ΔMRQ, concluímos que, seccionando adequadamente o ΔOMN, compomos o retângulo MNUQ. Assim, com 1 ou 2 cortes podemos obter um retângulo de mesma área.
Decomposição de região poligonal em quadrado Decompomos um polígono em triângulos, cada triângulo num retângulo e cada retângulo num outro retângulo com um lado unitário. Juntando esses retângulos pelo lado unitário, o polígono é transformado num retângulo de lado unitário. Por outro lado, este último pode ser decomposto de modo a formar um quadrado. Conclua que, dados dois polígonos de mesma área, um pode ser transformado no outro. Convidamos o leitor a montar um quebra-cabeça, utilizando o que acabamos de ver para transformar um triângulo equilátero num quadrado, por exemplo. Você obterá um número grande de peças. Quantas? Obter decomposições com poucas peças depende de muita engenhosidade. Abaixo vemos uma decomposição de um triângulo equilátero para compor um quadrado obtida em http://home.btconnect.com/GavinTheobald/HTML/Index.html
Referências bibliográficas Cromwell, P. R. Polyhedra>. Cambridge, 1964.
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a/2, recortando as peças DEJ e DCF e juntando-as à figura ABFJE, que sobrou do retângulo ABCD inicial, de modo que DE coincida com BF e DF coincida com JG, obtém-se o quadrado AGHE. E no caso c < a/2?
