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Painel I Joel Faria de Abreu
Um bom exemplo é a bela igualdade eπi +1 = 0, descoberta pelo grande matemático suíço do século XVIII Leonardo Euler (ver RPM 3, pág. 23). Veja também os exemplos: (1 + 2 + 3 + ... + n)2 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 Também digna de contemplação é 20 615 6734 = 2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604, descoberta em 1988 pelo professor de Matemática da Universidade de Harvard, Noam Elkies, sendo mais um contraexemplo para uma histórica conjectura de Euler, que acreditava não haver soluções com números inteiros diferentes de zero para a equação a4 = b4 + c4 + d4 (veja referências). Agora, caro professor, você está convidado a inventar as suas próprias igualdades curiosas. Peça a três de seus alunos que cada um diga o dia do mês em que nasceu. Suponha que esses números tenham sido, por exemplo: 7, 18 e 22. A soma dos quadrados desses números é: 72 + 182 +222 = 857. Lembrando que todo número ímpar é uma diferença de dois quadrados consecutivos, pois 2n + 1 = (n + 1)2 – n2, tire proveito do fato de que 857 é ímpar e use essa propriedade: 857 = 2×428 + 1 = 4292 – 4282. Finalmente, escrevemos 4292 = 4282 + 72 + 182 +222, igualdade curiosa, que usa os números fornecidos pelos alunos. Se os números dados pelos alunos tiverem soma dos quadrados par, você pode pedir outros números a outros alunos até que a soma resulte ímpar, ou usar um número de sua criação. Por exemplo, se os números dados forem 7, 18 e 21, você pode dizer que tem uma prima que nasceu no dia 11, e calcular 72 + 182 +212 + 112 = 935 = 2 × 467 + 1, para apresentar a igualdade 4682 = 4672 + 72 + 182 +212 + 112.
Referências http://mathworld.wolfram.com/EulersSumofPowersConjecture.html
Fernando Henrique de Araujo Embora a RPM já tenha publicado dois artigos (RPM 11 e RPM 15) sobre ângulos entre ponteiros de um relógio, considerando o longo tempo passado desde essas publicações e o interesse ainda manifestado por leitores sobre o tema, resolvemos mais uma vez abordar o assunto. O que apresentamos a seguir é parte do texto enviado agora pelo licenciando em Matemática, Fernando Henrique Antunes de Araújo, e parte do publicado na RPM 11, no artigo O problema do relógio. Solução simplificada de um problema angular, de autoria de Antonio Leonardo P. Pastor. O Fernando Henrique nos conta que entre os colegas do curso de licenciatura em Matemática, muitos tinham dificuldades em resolver o problema: qual é o ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos quando um relógio marca 12h15min? Rapidamente os alunos responderam 90o, mas só seria essa a resposta se o ponteiro das horas ficasse parado enquanto o dos minutos se movimenta. No artigo da RPM está o resultado a seguir: “O ângulo que o ponteiro das horas de um relógio descreve em m minutos é igual a (m/2)o. ” que pode ser verificado observando-se o seguinte: o ponteiro das horas descreve em 1 h um ângulo igual a (360/12)o = 30o, ou seja, (1/2)o por minuto, logo em m min descreve (m/2)o. Então, quando o relógio marca 12h15min, o ponteiro das horas percorreu (15/2)o = 7,5o, logo No mesmo artigo também está a pergunta: qual seria o ângulo entre os ponteiros se o relógio marcasse 5h43min? Nesse caso, como o ponteiro dos minutos descreve 30o em 5 minutos, ele descreve 6o em 1 minuto. O ponteiro dos minutos descreve o ângulo α + β em 18 minutos; logo, α + β = 18 × 6o = 108o. Ora, o ângulo β é o ângulo que o ponteiro das horas descreveu em 43 minutos; logo, pelo resultado inicial β = (43/2)o = 21,5o. Então, α = (108 – 21,5)o = 86,5o. Um outro problema que deixou os colegas de Fernando intrigados foi: Quando o relógio marca 12 h, os ponteiros da hora e dos minutos estão sobrepostos. Qual a próxima hora em que os A solução que ele nos apresenta é: Após as 12 h, o ponteiro dos minutos sai na frente do das horas e só há chance de eles se encontrarem após a 1 h. Como observamos anteriormente, se q é o ângulo da figura ao lado, temos q = 30o. Quanto ao deslocamento dos ponteiros, temos: ponteiro das horas: 30o em 3 600s, logo (1/120)o em 1s. ponteiro dos minutos: 30o em 300 (5 × 60)s, logo (1/10)o em 1s. Logo, após 1s o ponteiro das horas acrescenta (1/120)o ao ângulo q e o dos minutos subtrai (1/10)o, isto é, a cada segundo o ângulo q é diminuído em (1/10 – 1/120)o = (11/120)o. Como a medida inicial do ângulo q é 30o, depois de x segundos, teremos [30o – x (11/120)o]. Então, para que o ângulo q seja igual a zero, devemos ter 30o – x (11/120)o = 0, ou seja, serão necessários x = (30 ×120/11)s = (1/11)h. Portanto, os ponteiros estarão sobrepostos novamente quando o relógio marcar (1 + 1/11)h, ou seja, 1h05min(27 + 3/11)s.
Painel III Sérgio Dalmas Uma notícia vaga e as possíveis respostas do problema do capim elefante e do eucalipto A questão número 6 do conjunto de questões que exemplifica a prova de Matemática e suas tecnologias, do novo ENEM – Exame Nacional do Ensino Médio, ano 2009, divulgadas pelo INEP – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira, órgão do Ministério da Educação do Governo Federal, tem o seguinte enunciado: O capim-elefante é uma designação genérica que reúne mais de 200 variedades de capim e se destaca porque tem produtividade de aproximadamente 40 toneladas de massa seca por hectare por ano, no mínimo, sendo, por exemplo, quatro vezes maior que a da madeira de eucalipto. Além disso, seu ciclo de produção é de seis meses, enquanto o primeiro corte da madeira de eucalipto é feito a partir do sexto ano. (Disponível em: www.rts.org.br/noticias/destaque - 2/i-seminario - madeira - energetica - discute-producao - de-carvao - vegetal - a - partir - de - capim. Acesso em: 06 abril 2010.) Considere uma região R plantada com capim-elefante que mantém produtividade constante com o passar do tempo. Para se obter a mesma quantidade, em toneladas, de massa seca de eucalipto, após o primeiro ciclo de produção dessa planta, é necessário plantar uma área S que satisfaça a relação: (A) S = 4R (B) S = 6R (C) S = 2R (D) S = 36R (E) S = 48R O texto acima não define exatamente qual a relação entre a produtividade de uma ou de outra massa seca. Se não, vejamos; sendo a produtividade do capim-elefante de 40 toneladas de massa seca por hectare por ano e a produtividade do eucalipto de 10 toneladas de massa seca por hectare por ano, chegaremos à solução a seguir. Solução: Consideremos uma região de área igual a R hectares, plantada com capim-elefante, e outra região de área igual a S hectares, plantada com eucalipto. Após o primeiro ciclo de produção do eucalipto, 6 anos, obteremos:
A igualdade de ambas ocorrerá no caso em que S = 4R e a alternativa certa seria a (A). A alternativa marcada como certa no gabarito, porém, é a alternativa (E). Ela é encontrada se a interpretação do texto for de que a produtividade do capim-elefante é quatro vezes a produtividade do eucalipto por ciclo. Como cada ciclo do eucalipto (6 anos) corresponde a 12 ciclos do capim-elefante (6 meses), então a relação entre essas produtividades, no final do 6 Note-se que o problema econômico é bem mais complicado, pois há outros fatores a analisar no cálculo dessa vantagem, como, por exemplo, a velocidade de retorno do investimento, favorável ao capim-elefante, as despesas com plantio, manutenção e colheita, entre outras. Interessante observar o grande número de resoluções divulgadas por cursos e escolas que chegaram à resposta dada no gabarito. Esses comentários foram enviados ao INEP e aos cadernos de vestibulares da Folha de São Paulo, O Estadão e O Globo. O INEP respondeu que iria encaminhá-los à coordenação geral. NR:O texto, de fato, dá margem a várias interpretações. Uma outra seria, se a produtividade do capim em cada ano é 4 vezes a produtividade do eucalipto no ano do corte, então a produtividade do capim seria 24 vezes a do eucalipto, no final de 6 anos, resposta que não consta das alternativas. A RPM procurou mais informações sobre essas relações no endereço que consta do artigo citado, mas não as encontrou.
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a resposta do problema inicial é 82,5
ponteiros estarão novamente sobrepostos?
× (6 anos) × 
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× (6 anos) ×
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