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Roosevelt Bessoni e Silva Ocasionalmente, em sala de aula, um problema sem muita conexão com a vivência dos alunos pode despertar sua curiosidade, incentivá-los a desenvolver suas próprias soluções e, talvez, levá-los a novas descobertas. Um problema assim, em geometria plana, foi estudado por um grupo de matemáticos húngaros, no ano de 1932. Entre eles: Paul Erdös*, Esther Klein e um jovem químico, George Szekeres, apaixonado pela Matemática. O problema foi proposto aos seus colegas por Esther, e seu enunciado é: Dados quaisquer cinco pontos numa superfície plana, de forma que não há três deles alinhados, prove que quatro desses pontos sempre formarão um quadrilátero convexo. Esther apresentou a prova simplesmente mostrando que todos os arranjos possíveis dos cinco pontos se resumem nos três casos ilustrados na figura a seguir, cada um deles garantindo a formação do quadrilátero convexo. Primeiro caso: os cinco pontos formam um polígono convexo. Então, quaisquer quatro pontos dos cinco formam um quadrilátero convexo.
Segundo caso: um dos cinco pontos está no interior do quadrilátero formado pelos outros quatro. Então os quatro pontos externos formam um quadrilátero convexo. Terceiro caso: dois dos pontos estão no interior do triângulo formado pelos outros três. Se uma linha é desenhada passando por esses dois pontos interiores, dividindo o triângulo em duas partes, então dois dos três pontos que formaram o triângulo estarão num dos lados da linha. Esses dois pontos, juntamente com os dois interiores ao triângulo, formam um quadrilátero convexo. A elegância da demonstração contagiou Erdös e Szekeres, que pensaram em estender o resultado para polígonos formados por um número maior de lados. Nesse sentido, surgiu a seguinte conjectura: sempre existe um polígono convexo de n lados quando o número de pontos é da forma 2n–2 + 1, com três quaisquer não alinhados. Podemos propor aos nossos alunos que examinem outros polígonos convexos. Por exemplo, se forem escolhidos três pontos não alinhados, então é imediato que formam um triângulo, que é um polígono convexo; se forem escolhidos nove pontos no plano, três quaisquer não alinhados, embora não sendo de verificação imediata, eles garantem a existência de um pentágono convexo. À medida que o número de pontos aumenta, a dificuldade é maior, mantendo-se a conjectura como um problema aberto até os dias de hoje. O final feliz não é porque o texto acabou, mas é como se identifica esse problema na literatura matemática. Devido ao fato de que os jovens Esther e Szekeres se casaram, Paul Erdös chamou-o de problema de final feliz (happy end problem).
Referências Hoffman, Paul. The man who loved only numbers. New York, Hyperion,1998.
* Paul Erdös (1913–1996), um grande matemático húngaro, na ocasião tinha 19 anos. Na RPM 4, p. 39, há um parágrafo sobre quem foi Paul Erdös. Seu nome aparece também na RPM 34, p. 47, e na RPM 49, p. 10.
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