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Responsáveis
Probleminha da RPM 71 Escreve um leitor de Mariana, MG: Gostaria de ver uma justificativa para a resposta do probleminha n RPM O probleminha: Timóteo recebe ofertas de trabalho de duas empresas. A primeira oferece R$ 18.000,00 por ano com a promessa de aumento de R$ 1.000, 00 por semestre. A segunda oferece também R$ 18.000,00 por ano com a promessa de R$ 4.000,00 por ano. Qual empresa Timóteo deve escolher?
Portanto, Timóteo deve escolher a primeira firma. Observação: Como a maioria dos probleminhas da RPM, este é um problema recreativo, fictício, não retrata uma situação real. O quadro acima mostra uma possível interpretação do enunciado, embora na vida real não seja assim que aumentos são dados.
Questão que “me tira do sério” Um leitor escreveu: Tenho uma questão de Matemática que me tira do sério. Gostaria muito se pudessem me ajudar. Ei-la: Seja S = {(x, y) RPM O conjunto S é o conjunto de pontos internos a um círculo de centro em (0, 0) e raio r. Façamos r = 1, o que não afeta o argumento a seguir. Lembrando que os lados de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 1 medem 1, os lados de um pentágono regular inscrito nessa circunferência medem mais do que 1. Portanto, os 5 vértices de um pentágono inscrito numa circunferência de raio ligeiramente menor do que 1 são pontos do conjunto T. Vamos mostrar que T não pode ter 6 (ou mais) pontos. Suponhamos que P1, P2, P3, P4, P5 e P6 são 6 pontos nas condições exigidas, escritos na ordem anti-horária. Nenhum deles pode ser o centro O da circunferência de raio 1 porque a distância de O a qualquer ponto de S é menor do que 1. Consideremos os ângulos: P1OP2, P2OP3, ..., P5OP6 e P6OP1. Como a soma deles deve ser 360 graus, ao menos um terá medida menor ou igual a 60 graus. Podemos supor que é P1OP2. Mas, no setor circular da circunferência de centro O e raio 1, determinado por P1, O e P2 , menos O, os únicos pontos que podem estar a uma distância maior ou igual a 1 são os pontos de interseção dos segmentos OP1 e OP2 com a circunferência. Portanto, P1 e P2 devem coincidir com esses pontos que não estão no interior do círculo, o que é uma contradição. Logo, T possui, no máximo, 5 pontos.
Verdadeiro ou falso Um leitor de Londrina, PR, escreveu: Tenho encontrado muita dificuldade, inclusive com colegas da área, sobre exercícios de Verdadeiro ou Falso. Às vezes, parece existir uma terceira alternativa: Pode ser. Penso que muitos professores têm dúvida sobre o assunto. Outros chegam a dizer que depende do contexto. Por exemplo, sen2x + cos2y = 1 pode ser verdadeira ou não. Esse leitor mandou o seguinte teste, cujo enunciado foi ligeiramente modificado: Considere as afirmações: Se a é um número real, então pode-se afirmar que I) a + a + a = 3 × a II) a + a + a = 2 × a III) a + a + a Então, a) Apenas I é verdadeira. RPM Parece razoável entender, como se faz usualmente, que as afirmações I, II e III referem-se a todos os números reais, como se estivesse escrito: I) Então: I é verdadeira, porque a igualdade a + a + a = 3 × a é satisfeita para todo valor real de a, II é falsa, porque, para a = 1, a igualdade 1 + 1 + 1 = 2 × 1 não é satisfeita, III é falsa, porque, para a = 0, a desigualdade 0 + 0 + 0 Quanto à outra pergunta: expressões do tipo “sen2x + cos2y = 1” são chamadas (formalmente) de “fórmulas abertas” e, como tal, não se aplicam a elas os adjetivos “verdadeira” ou “falsa”. Para poder aplicar esses adjetivos, é necessário introduzir quantifi cadores, isto é, expressões do tipo: “qualquer que seja” ou “existe”, de modo a obter uma “fórmula fechada”. Assim, “para quaisquer x e y reais, sen2x + cos2y = 1” é agora uma “fórmula fechada” que é falsa porque, para x =1 e y = 2, a igualdade sen2x + cos2y = 1 não está satisfeita, enquanto “existem x e y reais tais que sen2x + cos2y = 1” é uma “fórmula fechada” que é verdadeira porque a igualdade está satisfeita para x = y = 1.
Um problema de contagem Escreve um professor do Ceará: O problema que repasso a seguir pode ser resolvido de um modo prático por técnicas de análise combinatória ou apenas por sequências recorrentes. Qual é a solução que é mais rápida? Consegui resolver usando sequências recorrentes, mas, utilizando técnicas básicas de combinatória, a resolução se mostrou exaustiva e eu então desisti. “Quantas são as sequências de 10 termos pertencentes ao conjunto cujos elementos são 0, 1 e 2 que não possuem dois elementos consecutivos iguais a 0?” RPM Estamos publicando uma solução que usa técnicas básicas de contagem, proposta pelo professor Wagner Borges. Para deixar mais claro um argumento que será usado nessa solução, vamos recordar, por meio de um exemplo, um modo de resolver um problema clássico de contagem:”De quantas maneiras pode-se escrever o número natural n como soma de p parcelas?” Por exemplo, se n = 4 e p = 3, 4 = 1 + 1 + 2; 4 = 3 + 1 + 0; 4 = 2 + 0 + 2; 4 = 0 + 4 + 0; etc. Consideramos o 4 representado por quatro barras. Cada uma das permutações com repetição de quatro barras e dois sinais “mais” representará uma maneira de escrever 4 como soma de 3 parcelas. Assim, a 1 E, agora, a pergunta do leitor: “Quantas são as sequências de 10 termos pertencentes ao conjunto cujos elementos são 0, 1 e 2 que não possuem dois elementos consecutivos iguais a 0?” Iniciando a contagem: 1) Sequências com nenhum 0: Existem 210 = 1024 sequências. 2) Sequências com 1 zero: Existem 10 × 29 = 5120 sequências. 3) Sequências com 2 zeros: Imagine uma sequência assim (x1 algarismos não nulos, 0, x2 algarismos não nulos, 0, x3 algarismos não nulos). Queremos determinar números naturais, x1 A resposta é 4) Sequências com 3 zeros: Imagine uma sequência assim, (x1 algarismos não nulos, 0, x2 algarismos não nulos, 0, x3 algarismos não nulos, 0, x4 algarismos não nulos ). Procuram-se números naturais x1 A resposta é 5) Sequências com 4 zeros e com 5 zeros: Repete-se o processo, obtendo-se 6) Não há sequências de 6 ou mais zeros sem que alguns deles estejam em posições consecutivas. Número total de sequências: 1 024 + 5 120 + 9 216 + 7 168 + 2 240 + 192 = 24 960.
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3, p. 48, da RPM 71. (Não consigo, ainda, aceitá-la como verdadeira!)
2 × a
a 
soma acima é representada por | + | + | |; a 2
0, x
= 36. Portanto, há 36 × 2
= 56. Portanto, há 56 × 27 = 7 168 sequências com três zeros.
sequências com 4 zeros e 
sequências com 5 zeros .