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Responsável As soluções dos problemas 301 a 305, publicados na RPM 71, serão corrigidas apenas se enviadas até 30 de junho de 2010 (e não até 31 de outubro, como está publicado na RPM 71). As soluções dos problemas 306 a 310 devem ser enviadas até 31 de outubro de 2010.
Na figura temos um quadrado ABCD de lado 1 e um quadrado AEFG de lado x. Construir com régua e compasso a circunferência que passa por F e é tangente aos lados DC e BC. 307 Dado n inteiro positivo, seja f(n) a média aritmética de todos os seus divisores positivos. a) Mostre que 308 Dados uma circunferência c e um ponto P no seu exterior, encontre Q e R pontos de c tais que P, Q e R estejam em linha reta e Q seja ponto médio do segmento PR.
PROBLEMAS 309 Mostre que, se um polinômio p(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x + an, com coeficientes inteiros, assume o valor 7 para quatro valores inteiros e distintos de x, então ele não pode assumir o valor 14 para nenhum valor inteiro de x. 310 Prove que, se x +
Probleminhas 1 Como conseguir as igualdades abaixo colocando entre os 4’s sinais das operações aritméticas e parênteses?
2 Vicente tem 13 pedaços disjuntos de corrente, cada um composto de 3 elos presos uns nos outros. Há, portanto, um total de 39 elos, todos fechados. Vicente deseja reunir todos os pedaços para fazer uma corrente fechada, contínua, de 39 elos. Sabe-se que ele necessita de 4 minutos para cortar um elo e de 10 minutos para o soldar. Vicente conseguiu fazer a corrente em 140 minutos. Como? 3 Um explorador gasta 6 dias de viagem para atravessar um deserto. E dispõe da ajuda de dois carregadores. Cada homem pode levar consigo apenas a quantidade de alimentos necessária a um homem para 4 dias. É possível o explorador atravessar o deserto nessas condições? (Probleminhas adaptados do livro 100 jogos numéricos, de Pierre Berloquin.) Respostas no final desta página.
Soluções dos problemas propostos na RPM 70 296 Em um trapézio qualquer ABCD (com AD//BC), trace as diagonais AC e BD e, pelo seu ponto de encontro O, trace a paralela a BC que corta os lados AB e CD em E e F, respectivamente. Prove que OE = OF. Solução
Usando semelhança dos triângulos AEO e ABC, E, pela semelhança dos triângulos DOF e DBC, De (i), (ii) e (iii) segue
Observar que, se a figura fosse um pouco diferente e o segmento EF não passasse no ponto O mas fosse paralelo às bases, ainda assim teríamos EE’ = F’F, usando o mesmo raciocínio acima. (Solução enviada por Luiz Claudio Conceição Rego, BA.) 297 Considere os triângulos ABC e DEF com as bases AB e DE congruentes, os ângulos C e F congruentes e as alturas CH e FK, correspondentes às bases AB e DE, também congruentes. Prove que os dois triângulos são congruentes. Solução Os dois triângulos têm a mesma área, pois têm as bases AB e DE congruentes e as alturas CH e FK também congruentes. Daí,
Se x = AB = DE, pela lei dos cossenos, podemos escrever: x2 = a2 + b2 Aplicando (1), temos a2 + b2 = e2 + d2. (2) Levando em conta (1) e (2), temos a2 + b2 + 2ab = e2 + d2 + 2ed ou (a + b)2 = (e + d)2 e lembrando que a, b, e, d são números positivos, então a +b = e + d. (3) Por (1) e (3), as duplas a, b e e, d constituem o conjunto solução de uma mesma equação do 2 Logo, temos a = e e b = d ou a = d e b = e. Nos dois casos, os dois triângulos são congruentes pelo caso de congruência LLL. (Solução enviada pelo leitor Nilton Lapa, SP.) 298 Se a, b e c são reais maiores que 1, prove que, para todo r > 0, (logabc)r +(logbac)r +(logcab)r Solução Temos a, b, c > 1 e r > 0 e queremos mostrar que S = (logabc)r + (logbac)r + (logcab)r Lembrando que, dados A e B reais positivos, temos Então, logabc De modo análogo, (logbac)r Como dados A, B e C reais positivos temos
(Solução adaptada das enviadas por diversos leitores.) 299 Seja a = 1111....1 com 2 000 dígitos 1’s e b = 222...2 com 1000 dígitos 2’s. O número (a – b)1/2 é um inteiro! Qual? Solução Temos, pela fórmula da soma da PG,
e, analogamente,
Logo, a diferença dos números acima é
e, portanto, sua raiz quadrada é
(Solução adaptada das enviadas por vários leitores.) 300 Arnaldo tem 2 009 moedas, enquanto Bernaldo tem 2 010 moedas. Ambos lançam suas moedas simultaneamente e observam o número de caras obtidas. Qual a probabilidade de que Bernaldo obtenha mais caras do que Arnaldo? Solução Vamos considerar o caso geral, com o seguinte enunciado: “Duas pessoas A e B, lançam moedas perfeitas sobre uma mesa. A pessoa A lança n + 1 moedas e a B lança n moedas. Qual é a probabilidade de A obter maior número de caras do que B?”. Nesse caso, supondo que inicialmente A e B lançam n moedas cada um, seja p a probabilidade de A obter maior número de caras do que B. A probabilidade de B obter maior número de caras do que A também é p. Seja q a probabilidade de A e B obterem o mesmo número de caras. Desse modo, 2p + q = 1. Logo, o lançador A obterá maior número de caras do que B se: 1. Já o tinha antes de lançar sua moeda de número n + 1 (probabilidade p). 2. Tinha o mesmo número de caras que B e obtém uma nova cara no lançamento n + 1 (probabilidade q × Portanto, a probabilidade de A sobrepujar B em número de caras é p + Agora, particularizando o problema para a nossa questão, temos: Bernaldo tem 2010 moedas, ou seja, n + 1 moedas, e Arnaldo tem 2009 moedas, ou seja, n moedas. Portanto, a probabilidade de Bernaldo obter mais caras do que Arnaldo é 1/2, ou seja, 50%. (Solução enviada por Warles Ribeiro Neto.)
Respostas dos Probleminhas 1 (4 x 4 – 4) 2 Deixemos 10 pedaços de corrente intactos e abramos os 9 elos dos 3 restantes. Esses 9 elos permitem ligar os 10 pedaços. Para fechar a corrente assim obtida, basta abrir e fechar o elo da extremidade. 3 Sim. O primeiro carregador retrocede no fim do primeiro dia e o segundo carregador retrocede no fim do segundo dia, cada um deles deixando a alimentação excedente para o explorador. |
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306
f(n)
= 2cosa, então x
= 2cos(na).
Pelo teorema de Tales, temos que 
(i)
. (ii)
. (iii)
.
Logo, EO = OF.
absen
2abcos
grau.
3 
2r.
, sempre que existe o primeiro membro, temos log
(comparação entre as médias aritmética e geométrica), temos lnb + lnc 
[(lnb)(lnc)]
[(lnb)(lnc)]
[(lna)(lnc)]
[(lna)(lnb)]
(comparação entre as médias aritmética e geométrica), então
= 10
)
ou 50%.
4 = 3