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Amadeu Carneiro de Almeida
O problema que vamos resolver é o de como traçar duas cordas em um círculo, que supomos de raio 1, de forma a dividi-lo em três partes de mesma área. Para começar, devemos perceber que temos duas variações do mesmo problema. 1) Se as cordas tiverem uma extremidade comum, qual será o ângulo entre elas? (figura 1) 2) Se as cordas forem paralelas, qual será a distância entre elas? (figura 2) Em ambos os casos devemos encontrar um segmento circular cuja área seja igual à terça parte da área do círculo. Vejamos então como se calcula a área de um segmento circular de base AB em uma circunferência de raio R. Na figura 3, se o ângulo central AOB mede, em radianos, q, a área S do segmento circular é a diferença entre a área do setor AOB e a área do triângulo AOB. Ou seja,
Na figura 1, seja x a medida em radianos do arco AB (que não contém o ponto C). Como a área do segmento circular de base AB deve ser a terça parte da área do círculo, obtemos:
Como estamos com uma circunferência de raio 1, a distância OM, do centro da circunferência à corda AB, é o cosseno do ângulo AOM. Usando uma calculadora científica, encontramos OM = 0,265.
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Para encontrar um valor aproximado para a raiz dessa equação podemos usar um programa que traça gráficos de funções e determinar sua interseção. Usando o Geogebra, tracei os gráficos de y = senx e y = x
e encontrei no ponto de interseção a abscissa x = 2,6053. Esse é um valor aproximado para a raiz da nossa equação.
= π – x, que é aproximadamente igual a 0,5363 radianos, o que dá cerca de 30,728 graus, ou seja, cerca de 30
Observemos agora a figura 4, que mostra a situação das cordas paralelas. Conhecemos a medida do ângulo central AOB: igual a 2,6053 radianos ou 149,272 graus. Então, sendo M o ponto médio da corda AB, o ângulo AOM mede 74,636 graus.
Assim, a distância entre as cordas paralelas é d = 2OM = 0,53.