Chico Nery
Colégio San Conrado – Campinas
Liceu Albert Sabin – Ribeirão Preto

Durante uma aula numa turma especial de 3 série do ensino médio, na qual falávamos sobre a equação da elipse, resolvi propor o seguinte exercício:

Dentre todas as cordas que passam por um dos focos de uma elipse, aquela perpendicular ao eixo maior chama-se corda focal mínima. Dada a equação de uma elipse: , a > b, determine a medida da sua corda focal mínima.

Resolvemos o problema de duas maneiras, uma mais analítica e outra mais sintética, como mostro a seguir:

1 maneira

Sejam P e P’ as extremidadas da corda focal mínima em relação ao foco F.

Esses dois pontos têm abscissa c (metade da distância focal) e pertencem à elipse. Logo, para determinar suas ordenadas basta substituir x por c na equação da elipse.

Então, e, portanto,

Daí concluímos que a medida da corda focal mínima é:

2 maneira

Sendo PF = k , temos PF' = 2a k , pois, sendo P um ponto da elipse sabe-se que PF + PF' = 2a .

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo PFF’, encontramos:
(2a k)2 = k2 + (2c)2 ou , e, portanto, a medida da corda focal mínima é:

Terminada essa aula, saindo da sala, fui interceptado pela Tamires, uma das melhores alunas dessa turma, que me apresentou a seguinte questão: Se essa corda da qual achamos a medida chama-se corda focal mínima deve ser porque ela é a menor de todas as cordas que passam por aquele foco?! Como se prova isso?

Respondi: “Assim de pronto não sei responder, mas vou pensar e na semana que vem conversaremos”, mas acrescentei: “Pense você também”.

Rabisquei o papel nas minhas poucas horas vagas e não consegui uma solução adequada ao nível do ensino médio. Ansioso, pois queria dar uma resposta convincente para a Tamires, acabei telefonando para o meu colega Jota, que tem uma sólida formação em desenho geométrico. Meia hora depois ele retornou a ligação perguntando se eu tinha a coleção do Caronnet. Diante da resposta afirmativa, acrescentou: “Pegue o volume 8 – Cônicas, o problema 13 é o seu problema”.

Como é bom ter um colega com quem partilhar as dúvidas e uma boa biblioteca à disposição!

Sugiro aos colegas, leitores da RPM, que, antes de consultar o Caronnet ou terminar a leitura deste artigo, tentem resolver o problema para sentirem o peso e a beleza dele.

A resolução do Caronnet baseia-se nas medidas dos raios vetores associados a um ponto genérico da elipse e isso, confesso, desestimulou-me um pouco para apresentá-la para os alunos.

Na semana seguinte, mal entrando na sala da Tamires, ela se encaminhou em minha direção com uma folha de caderno nas mãos, e disse:

“Eu quase resolvi o problema da corda focal mínima.” Vejamos a seguir as decisões tomadas pela Tamires.

Ela traçou uma corda PP’ passando pelo foco F e considerou a a medida do ângulo PFF’ e b a medida do ângulo P’FF’. Traçou também os triângulos PFF’ e P’FF’.

Fazendo a variar no intervalo , a medida de PP' assumirá todos os valores possíveis.

Considerando PF = p e P'F = q, tem-se PF = 2a p e P'F' = 2a q.

Sendo FF' = 2c e aplicando o “teorema dos cossenos” nos triângulos PFF’ e P’FF’, obtém-se:

(2a p)2 = p2 +(2c)2 2 . p . 2c . cosa ou
(2a q)2 = q2 +(2c)2 2 . q . 2c . cosb ou

Daí chegou a p + q = , com a + b = 180o, resultado esse que deixou a Tamires em dúvida quanto à interpretação.

Foram indisfarçáveis o meu espanto e a minha emoção. A Tamires, usando recursos matemáticos totalmente ao seu alcance (Lei dos cossenos), que aliás foram estudadas nas minhas próprias aulas, praticamente resolveu o problema.

A minha modesta contribuição se deu a partir desse ponto.

Substituí a2 – c2 por b2 e cosb por –cosa, obtendo:

Como a varia no intervalo , temos 0 cos2a 1.

Nessas condições, o menor valor de p + q ocorrerá quando o denominador a2 – c2cos2a for o maior possível, já que o numerador é uma constante, ou seja, quando cos2a = 0. Para isso devemos ter , e, nessa posição, a corda focal PP’ fica perpendicular ao eixo maior, e sua medida passa a ser:

Só por curiosidade, observemos que, se cos2a = 1, ou seja, a = 0, a corda PP’ coincide com o eixo maior e sua medida assume o maior valor possível, que obviamente é igual a 2a.

Encerro este artigo afirmando que o Jota e o Caronnet são importantes para mim, mas as Tamires também o são.