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Painel I Rogério César dos Santos
É bem simples. Podemos até mudar os números: suponha n cartas nototal, sendo que m estão viradas para cima e, portanto, n – m para baixo.O espectador embaralha as n cartas. Você vai pedir a ele que entregue avocê m cartas, sejam as de cima, sejam as de baixo, tanto faz. Observe que a quantidade de cartas que você terá em mãos, m, é a mesma quantidade de cartas que, no início, estavam viradas para cima, mas não serão necessariamente as mesmas. No seu monte, existirão k cartas viradas para cima e m – k cartas viradas para baixo. No monte dele, existirão m – k cartas viradas para cima. Observe que a quantidade de cartas viradas para cima na mão dele é igual à quantidade de cartas viradas para baixo na sua mão, isto é, m – k. Agora, uma pequena trapaça: você pedirá a ele que conte quantas cartas estão viradas para cima no monte dele e, enquanto ele conta, você vira o seu monte de cabeça para baixo, sem que ele veja. Assim, você também terá m – k cartas viradas para cima!
Em seguida, deixe que ele veja, no monte restante, a n-ésima carta, de cima para baixo. Vamos chamá-la de carta mágica, também desconhecida para você. Agora, peça a ele que escolha dois nomes próprios compostos. Exemplo: Gustavo André e João Pedro. Isso para garantir que a soma de todas as letras (contando as repetições) que formam os dois nomes seja maior que 12. Em seguida, você retira do monte restante várias cartas, uma por uma, ao mesmo tempo em que soletra os dois nomes. Tire a primeira, G, a segunda, U, a terceira, S, etc., até a última, O (de Pedro). Cada carta retirada deve ser colocada na mesa, uma a uma, com a face voltada para baixo, fazendo um montinho à parte. Agora, devolva essas cartas retidas ao monte principal, com as faces voltadas para baixo. Observe que, ao realizar essa operação, as cartas referentes às letras dos nomes foram invertidas em sua posição. A seguir, peça a ele que coloque as n cartas que estavam com ele sobre o monte. Peça que ele repita o procedimento anterior, isto é, que soletre os dois nomes, ao mesmo tempo em que retira as cartas, uma a uma. Então, ao retirar a última, ele verá que a que restou por cima do monte é exatamente a carta mágica. Como? Vejamos. Ao retirar n cartas, n
Agora você pede a ele que coloque as três cartas retiradas sobre a mesa com as faces viradas para cima. Você pega o monte e coloca em cima de cada uma das três cartas uma quantidade de cartas igual à que falta para completar 15. Por exemplo, se uma das cartas é um valete (número 11), você coloca 4 cartas em cima dela; se for um 2, você coloca 13 cartas. Peça então ao espectador que some os valores das três cartas inicialmente escolhidas por ele. Você retira do monte restante uma quantidade de cartas igual a essa soma. Agora peça ao espectador que olhe a primeira carta do monte restante e compare com a que está anotada no papel no bolso dele. As cartas são as mesmas! Como? Essa mágica fica para você explicar. [Sugestão: a “olhada” inicial no baralho é para verificar qual é a (52 – 3 – 3.15)-ésima (4
Severino Toscano Melo Em primeiro de setembro passado, eu e outros 47 professores do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo recebemos um e-mail do qual reproduzo o seguinte trecho, ligeiramente editado. “Meu nome é Paulo Lobello, tenho 46 anos, resido na cidade de São Paulo, trabalho na área de desenvolvimento de software e não sou matemático profissional. Tenho como hobby (há mais de 20 anos) estudar os números primos e gostaria de apresentar-lhes, agora, um crivo que descobri: (1) Elimine do conjunto dos números naturais todos os pares. (2) Depois elimine todos os quadrados perfeitos ímpares. (3) Finalmente, elimine todos os números das seguintes formas: Nesse primeiro e-mail, ele apenas descrevia o algoritmo e dava uns poucos exemplos, todos com números menores que 100. Respondi dizendo que achava o resultado interessante e perguntando se ele sabia demonstrar que isso funcionava mesmo. Poucas horas depois, ele me escreveu de novo, relatando que havia escrito uma rotina em Visual Basic para tentar encontrar a lista dos primos menores que 10.000 usando seu crivo. Comparando com informações colhidas no site The Prime Pages (http://primes.utm.edu/), ele verificou que o milésimo número de sua lista, 7.919, era de fato o milésimo primo. E que o último número de sua lista, 9.973, era de fato o maior primo menor que 10.000. Além disso, há 1.229 primos menores que 10.000, e restaram 1.229 números em sua lista. Ou seja, pelo menos até 10.000, o crivo funcionava. Mas por quê? Em primeiro lugar é preciso observar que nenhum primo será retirado da lista pelo procedimento acima. De fato, nos passos (1) e (2), nenhum primo será retirado. No passo (3a), também não, pois P2 – I2 = (P – I)(P + I) e P – I > 1. Para o passo (3b) o procedimento é análogo. Logo, para verificar a validade do crivo, o que temos de provar é que todo número natural composto x, que não seja par ou um quadrado perfeito, é da forma x = y2 – z2, onde y – z > 1, sendo um dos números y e z par e o outro ímpar. Um tal x é o produto de dois ímpares distintos, m e n, com m > n > 1. Seja r a metade de m – n. Temos x = m.n = (n + 2r).n = (n + r)2 – r2. Fazendo y = n + r e z = r, conseguimos escrever x na forma desejada.
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12, o monte fica com 52 – n cartas. Desse monte restante, ele olhará a n-ésima carta mágica, de cima para baixo. Soletrando os nomes próprios, você vai retirar m, m > 12, cartas. Desse modo, a carta mágica será necessariamente retirada. Ao serem repostas sobre o monte, essas m cartas estarão com suas posições invertidas de modo que a carta mágica será a (m – n + 1)-ésima carta do monte, de cima para baixo. Quando o espectador repuser as n cartas que estavam na mão dele, a carta mágica ficará sendo a (m + 1)-ésima carta do monte de cima para baixo. Assim, quando o espectador retirar as m cartas, soletrando os nomes próprios, a primeira carta no monte restante será a carta mágica.
) carta do monte, carta essa que será escrita no papel que vai para o bolso do espectador.]