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Painel I Rogério César dos Santos Relendo a crônica da Coluna do Botelho da RPM 22, intitulada Professor de Matemática causa confusão em campeonato de futebol, propus a seguinte atividade em uma sala de aula. Consideremos um campeonato de futebol, no qual todos os times jogam o mesmo número de jogos; cada vitória vale 3 pontos e cada empate vale 1 ponto. Supunhamos dois times A e B empatados em primerio lugar, com o mesmo número de pontos ganhos. Perguntei aos alunos qual seria um critério de desempate adequado. Algumas respostas foram: ganha o que tiver o maior número de gols, ou o maior saldo de gols, ou o menor número de gols tomados ou o time que tiver o maior número de vitórias. Sugeri como critério: ganha o time que tiver o maior número de derrotas. Todos protestaram. O critério foi considerado absurdo. Simulei um campeonato, fornecendo o número de jogos e a pontuação dos dois times empatados. Pedi aos alunos que fizessem tabelas com possíveis resultados dos times A e B que fornecessem a mesma pontuação e verificassem, em cada caso, o maior número de vitórias e o maior número de derrotas. Surpresa! Em todas as tabelas, o time que mais ganhou partidas foi o mesmo que mais perdeu! Será que isso vale sempre? Por quê? Dei um tempo para os alunos pensarem e concluírem que o critério de maior número de vitórias é o mesmo que o de maior número de derrotas. Isso acontece, pois para obter a mesma pontuação, o time que obteve menos vitórias tem que ter tido um número maior de empates (já que são necessários 3 empates para obter 3 pontos), logo sobram menos jogos com derrotas. A argumentação verbal é aceitável e desejável, mas também mostrei uma demonstração algébrica do fato, como abaixo. Times A e B empatados com P pontos em um campeonato com N jogos. Indiquemos por V, E e D o número de vitórias, empates e derrotas, respectivamente, de cada um dos times. Então, temos: VA + EA + DA = VB + EB + DB = N
Painel II Rogério César dos Santos No artigo Revisitando os três problemas insolúveis da Antiguidade, publicado na RPM 66, foi demonstrada a impossibilidade da duplicação do cubo, isto é, dado um segmento de comprimento a, não é possível traçar, com uma régua sem marcação e com um compasso, um segmento de comprimento x tal que x3 = 2a3, ou seja, x = a Vários foram os matemáticos que, através dos séculos, tentaram efetuar essa construção. Todos, obviamente, sem sucesso. No entanto, é possível realizar a construção por meio de parábolas, curvas não construtíveis por régua e compasso. Tal procedimento foi adotado na Grécia por volta de 350 a.C. Considere, no plano cartesiano, a curva de equação y = x2/a, uma parábola que passa pelo ponto (0,0), e cujo eixo de simetria é o eixo y, e a curva x = y2/2a, que é outra parábola, que também passa pela origem, mas cujo eixo de simetria é o eixo x.
solução do sistema Substituindo na segunda equação o valor de y dado na primeira, temos: Assim, dado o lado a de um cubo, para se construir o lado do cubo que possui o dobro do seu volume, basta traçar as duas parábolas y = x2/a e x = y2/2a, marcar o ponto P intersecção de ambas distinto da origem e, por fim, uma perpendicular de P até o eixo y, encontrando este eixo no ponto Q. O segmento PQ é o segmento procurado de comprimento x = a De todo esse processo, apenas as parábolas não podem ser construídas por régua e compasso. Deve ser notado que, hoje em dia, as parábolas podem ser construídas usando diversos programas de Geometria Dinâmica, como o Geogebra e o Cabri, por exemplo.
Painel III Miguel V. S. Frasson Consideremos uma equação polinomial do segundo grau com coeficientes inteiros, ax2 + bx + c = 0, com discriminante maior que zero e tal que b/a ou c/a (ou ambos) não seja um inteiro. É claro que a equação pode ser resolvida usando-se a tradicional fórmula de resolução, conhecida no Brasil como fórmula de Báskara. Um outro método de resolução é o por soma e produto, que, no caso que estamos considerando, é um pequeno desafio, logo, mais divertido. Pode até ser mais rápido, como veremos, por exemplo, na equação 13x2 − 170x + 13 = 0. Para isso, observemos o seguinte: Se r1 e r2 são dois números racionais, escritos de forma que tenham o mesmo denominador d, então
Essa observação fornece um método de reduzir soma e produto de frações em soma e produto de inteiros:
Exemplos 1. 13x2 − 170x + 13 = 0
Então, S' = 170 e P' = 169, que leva a m = 1 e n = 169. Assim, as raízes da equação são r1 = 1/13 e r2 = 13. Sugerimos ao leitor que, para comparar o trabalho exigido, tente resolver essa equação usando a fórmula de Báskara. 2. 6x2 − 5x − 4 = 0
Então, S' = 5 e P' = −24, que leva a m = −3 e n = 8. Assim, as raízes da equação são r1 = −3 /6 = −1/2 e r2 = 8/6 = 4/3.
Enviado pelo Prof. Ian Prado S. Kitadai |
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A interseção das duas parábolas é 
ou x
Encontre números inteiros m e n com soma S' e produto P'. Então, m/d e n/d têm soma S e produto P.
