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Responsável: Alciléa Augusto
♦ Voltando às moedas da RPM 12 (p. 63) Escreve-nos o colega Sebastião Mauricio dos Santos, de Juiz de Fora, MG, revendo uma variante de um problema bastante citado e publicado na seção O Leitor Pergunta daquele número: O comandante de uma caravela promete a 3 marujos dividir igualmente entre eles as moedas de uma arca. Durante a noite um dos marujos abre a arca, divide as moedas em 3 partes e percebe que sobra 1. Atira essa moeda ao mar para evitar discussões e leva a sua parte. O mesmo se repete com cada um dos 2 outros marujos, um e depois o outro. No dia seguinte, o comandante faz a partilha, percebe que sobra 1 moeda, fica com ela e distribui as demais entre os 3 marujos. Quantas moedas recebeu cada um dos marujos e quantas havia inicialmente na arca? O colega considera como x o número de moedas na arca inicialmente. Prossegue os cálculos, encontra que o número de moedas retiradas pelo primeiro marujo é x = 79; k = 33; w = 24; y = 18 O colega observa que os valores de cada uma dessas variáveis formam progressões aritméticas de razões respectivamente 81, 35, 26 e 20 e que, em cada linha, o valor de x é a soma dos demais valores mais 4, como era de se esperar pelo modo como as moedas foram distribuídas. RPM O colega não deixa claro por que partiu de k = 33, mas é possível ver que, se 35x = 81k + 92, tem-se 35x = (2 × 35 + 11)k + (2 × 35 + 22), que implica o número k ser tal que 11k + 22 seja um múltiplo de 35 e, sendo também um múltiplo do primo 11, a primeira possibilidade para um valor positivo é: 11k + 22 = 35 × 11 ou k = 33. No caso do problema citado na RPM 12 o enunciado exigia que x estivesse entre 200 e 300, o que levou à solução x = 241. A solução apresentada pelo colega é mais elementar do que aquela apresentada na RPM 12 que parte do número de moedas que o comandante deu a cada marujo e reconstrói o valor total usando um resultado válido para a relação de recorrência encontrada. Enquanto essa solução se estende para outras quantidades de moedas, a da RPM 12 se estende para um maior número de marujos. Lá há também uma referência a outra solução que utiliza o artifício de juntar 2 moedas à quantidade inicial e mostrar que essa soma tem que ser divisível por 34 = 81. ♦ Uma prova diferente Inspirado no artigo Uma pergunta sobre tetraedros (RPM 60, p.21- 23), que utiliza uma relação entre as áreas das faces de um tetraedro trirretângulo, escreve-nos o colega Luis Alexandre Chiconello, de São José do Rio Pardo, SP, com uma prova para aquela relação utilizando Geometria Analítica e o cálculo de áreas pelo produto vetorial. O colega considera um sistema de coordenadas com origem no vértice O do tetraedro que seja o vértice dos três ângulos retos e eixos em suas arestas. Dessa forma, os demais vértices terão coordenadas A = (a, 0, 0); B = (0, b, 0) e C = (0, 0, c). Sendo assim, as áreas das faces que são triângulos retângulos são: ac/2, bc/2 e ab/2. Calculou, então, a área da face ABC como metade do módulo do produto vetorial dos vetores Dessa forma, chamando de S1, S2, S3, as áreas das faces AOC, COB e AOB e de S a área da face ABC, encontrou a relação desejada: S2 = S12 + S22 + S32 . RPM O colega propôs esse problema a seus alunos de licenciatura. Pena que hoje em dia sejam tão poucos os alunos do ensino médio que possam usar tais ferramentas. Fica, porém, o bom exemplo de ir além dos textos. ♦ Duas sugestões O colega José Rodrigues Filho (Dêgo), de Catarina, CE, apresenta duas sugestões à seção Problemas e pede que essas sejam divulgadas a fim de que outros colegas possam opinar a respeito. Uma delas é que, na relação dos leitores que enviaram soluções corretas, seja indicada a cidade além do estado do leitor. A outra é para que haja algum tipo de premiação anual ou bienal aos leitores que enviarem uma determinada quantidade de soluções corretas. RPM Agradecemos as sugestões do colega e aguardamos as opiniões de outros leitores. Podemos adiantar que alguns leitores enviam as soluções por e-mail e não se sabe de onde estão escrevendo. Quanto à premiação, é um ponto que será estudado pela equipe da Revista, mas, sem dúvida, o grande prêmio do leitor que pensa nos problemas é seu desenvolvimento!
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Correspondência 
, deixando lá o dobro disso. O segundo marujo retira de lá 
, deixando o dobro disso, e o terceiro marujo retira 
, deixando o dobro disso. O comandante fica com uma moeda e, por cálculos análogos, entrega a cada marujo 
moedas. Sendo assim, o primeiro marujo recebeu 
moedas; o segundo marujo recebeu 
moedas e o terceiro marujo recebeu 
. Dessas expressões, o colega calcula o valor de x em relação a k, w, y e determina os primeiros valores possíveis para esses inteiros, partindo de k = 33. 