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Responsáveis Envie suas perguntas para: ♦ Eleições De uma leitora de Goiás, dizendo que o problema abaixo é de uma prova da UFG. O resultado de uma eleição para prefeito, na qual concorriam os candidatos A, B, C e D, foi apresentado em um jornal, contabilizando somente os votos válidos (total de votos menos a quantidade de votos brancos e nulos):
No decorrer da notícia, ao informar o resultado do candidato eleito, o texto informava que o candidato A recebeu 74,67% do total de votos. Com base nessas informações, calcule a porcentagem de votos brancos e nulos dessa eleição, em relação à quantidade total de votos. RPM Seja n o número de eleitores e x o número de votos válidos. Por um lado, o número de votos que A recebeu é 78,6% de x. Por outro lado, o número de votos que A recebeu é 74,67% de n. Mas o número de votos que A recebeu é um só. Portanto, 78,6% de x = 74,67% de n, isto é, 78,6 x = 74,67 n , ou seja, x/n = 74,67/78,6 = 0,95 = 95%. Logo, o número de votos válidos é 95% do total e o de votos brancos e nulos é 5% do total. ♦ Concurso no Ceará Um leitor do Ceará pediu a solução de várias questões propostas em concursos daquele Estado. Eis uma delas: Seja RPM Se Como 79 é um número primo, isso ocorre se e somente se, n +19 = ±1 ou n +19 = ±79 . Portanto, A = { − 20,−18,60,− 98} . ♦ Um leitor de opinião própria Um leitor de Itu, SP, enviou uma questão de uma prova, publicada na Folha de São Paulo, como sendo uma das questões elaboradas pela Secretaria de Estado da Educação para selecionar docentes temporários. O leitor não concordou que a resposta era a indicada: 90 minutos. Eis o problema: A partir de um valor inicial igual a 16.000, certa população P1 de bactérias dobra a cada 30 minutos. Simultaneamente, partindo de um valor inicial oito vezes menor, outra população P2 de bactérias cresce, dobrando de valor a cada 15 minutos. Em qual instante t as duas populações terão o mesmo valor? E a solução da RPM: A população P1, de 30 em 30 minutos, forma a PG: (16, 32, 64, 128, 256, ... ), com a0 = 16 (sem o "mil") e q = 2. O n-ésimo termo dessa PG é an = 16. 2n –1. A população P2, de 15 em 15 minutos, forma a PG: (2, 4, 8, 16, 32, ...), logo, de 30 em 30 minutos, a população P2 forma a PG: ( 2, 8, 32, 128,...) , com b0 = 2 (sem o "mil") e q = 4. O n-ésimo termo dessa PG é: bn = 2. 4n –1. Procuramos n tal que an = bn ou 16. 2n –1 = 2. 4n –1. Escrevendo os números da igualdade como potências de base 2 e igualando os expoentes, obtemos 4 + n – 1 = 1 + 2n – 2 ou n = 4. O quarto termo das duas progressões ocorre após 90 minutos, isto é, t = 90 é a alternativa correta. Nota É interessante analisar por que o leitor não concordou com a solução aqui apresentada. Tradicionalmente, a modelagem matemática do crescimento de uma população de milhares de bactérias faz o uso da função exponencial, pois a experiência mostra que ela fornece boas aproximações para situações reais. Foi o caminho seguido pela RPM. Mas existem, é claro, outras modelagens possíveis. O leitor argumenta que se poderia supor que as populações crescem "por saltos" que ocorrem a 30 e 15 minutos, respectivamente, permanecendo constantes no resto do tempo. Com essa hipótese, as populações seriam iguais a 64 mil, após 75 minutos. A hipótese adotada pelo leitor não é a usual para esse tipo de problema, nem se apoia em fatos constatados. Tratando-se de uma hipótese, não cabe classificá-la como "certa" ou "errada", mas não nos parece ser a mais adequada nesse caso. ♦ Determinante De um leitor do Rio de Janeiro: Gostaria de obter, se possível for, uma demonstração do teorema: O valor absoluto do determinante de uma matriz A quadrada de ordem n, em que os elementos da diagonal secundária são nulos e os demais elementos são iguais a 1, é igual a n − 1. RPM Vamos denotar as linhas da matriz A por A1, A2, ..., An, sendo Ai a i-ésima linha, ou seja: A1 = [1, 1, 1, ..., 0]; A2 = [1, 1, ..., 0, 1]; ... An = [0, 1, 1, ..., 1]. Sabe-se que o determinante de uma matriz não se altera se somarmos a uma linha da matriz outra linha multiplicada por uma constante. Considere então uma nova matriz B cujas linhas B1, B2, ..., Bn são: Bi = Ai− A1 = [0, 0, ..., − 1, 0,1] para i = 2,..., n B1 = A1 + B2 + ... + Bn Exemplificando com uma matriz quadrada de ordem 4:
A nova matriz B tem: n − 1 na posição (1, n) (primeira linha e n-ésima coluna), Usando então o desenvolvimento de Laplace pela primeira linha, obtemos det (B) = (−1)n + 1 (n − 1) det C, sendo C a matriz quadrada de ordem n − 1 que tem − 1 na diagonal secundária e 0 em todas as outras entradas. O determinante de C, que também pode ser calculado por Laplace, é igual a 1 ou a –1, dependendo da ordem de C. De qualquer jeito, | det A | = | det B | = | (−1)n + 1 (n − 1) det C | = n − 1.
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. Quantos elementos tem o conjunto A? 
é um número inteiro, então, 
também é um número inteiro. 