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Responsáveis Envie suas soluções para
Problemas Chegamos ao problema 300! 296. Em um trapézio qualquer ABCD (com AD//BC) trace as diagonais AC e BD e, pelo seu ponto de encontro O, trace a paralela a BC que corta os lados AB e CD em E e F respectivamente. Prove que OE = OF.
297. Considere os triângulos ABC e DEF com as bases AB e DE congruentes, os ângulos C e F congruentes e as alturas CH e FK, correspondentes às bases AB e DE, também congruentes. Prove que os dois triângulos são congruentes. 298. Se a, b e c são reais maiores que 1, prove que, para todo r > 0, (logabc)r + (logbac)r + (logcab)r > 3 × 2r. 299. Seja a = 1111....1 com 2.000 dígitos 1's e b = 222...2 com 1.000 dígitos 2's. O número (a − b)1/2 é um inteiro! Qual? 300. Arnaldo tem 2009 moedas, enquanto Bernaldo tem 2010 moedas. Ambos lançam suas moedas simultaneamente e observam o número de caras obtidas. Qual a probabilidade de que Bernaldo obtenha mais caras do que Arnaldo?
1. Duas cidades estão ligadas por uma estrada de ferro. De hora em hora parte um trem de uma cidade para outra. Os trens andam todos na mesma velocidade e cada viagem de uma cidade à outra dura 5 horas. Com quantos trens cada trem se cruza? (Tirado do livro 100 jogos numéricos, de autoria de Pierre Berloquin.) 2. Sabendo que 73 galinhas põem 73 dúzias de ovos em 73 dias e que 37 galinhas comem 37 quilos de milho em 37 dias, quanto milho é necessário para obter uma dúzia de ovos? (Tirado do livro 100 jogos numéricos, de autoria de Pierre Berloquin.) 3. Sabe-se que 3 abacaxis valem 20 cajus, 7 cajus valem 15 laranjas, 10 laranjas valem 3 mangas e 15 mangas custam R$ 7,00. Quanto custa um abacaxi? (Retirado do blog do leitor Paulo Argolo.)
Solução
Justificativa: A reta t é a mediatriz de A'A. Como C e D pertencem a t, então CA ≡ CA' , A Daí vemos que B (Solução enviada por André Luis Souza de Araújo, CE.) Nota: O leitor Gilberto Garbi observa que essa construção só com régua e compasso é possível porque a reta AB corta t.
287. Seja N o inteiro mais próximo de Solução Seja x = 10251. Como 8 × 251 = 2008, temos
Sendo (Solução adaptada das enviadas por diversos leitores.) 288. Numa região limitada por um quadrado, ache, justificando, o ponto tal que a soma das distâncias aos quatro vértices do quadrado é a menor possível. Solução Se um ponto P está na região quadrangular ABCD e é diferente do centro O, ponto de encontro das diagonais AC e BD, temos as desigualdades PA + PC > AC e PB + PD > BD. Pela desigualdade triângular, uma delas deve ser estrita. Logo, PA + PC + PB + PD > AC + BD, no caso de P ≠ O. Portanto, a soma das distâncias de P aos vértices é a menor possível quando P = O. (Solução adaptada das enviadas pelos leitores.) 289. Mostre que o produto
é um número inteiro. Solução (Solução adaptada das enviadas por diversos leitores.) 290. Sejam a, b, c reais tais que Solução Das hipóteses sobre a, b e c, tem-se a + b + c = ab + bc + ac. Dessa igualdade e de abc = 1 vem que a, b e c são as raízes do polinômio x3 − (a + b + c)x2 + (a + b + c)x − 1 = 0. Como 1 é raiz desse polinômio, segue que um dos números a, b ou c é igual a 1. (Solução enviada por vários leitores.)
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286.
A reta AB corta t no ponto C e a reta A'B corta t em D. A reta AD corta A'C no ponto B' que é a imagem de B pela reflexão na reta t. 
D ≡ A'
O ≡ A'
. Qual é o dígito das unidades de N? 
, temos que o inteiro mais próximo da expressão acima é 
. Mostre que um desses números reais a, b, c é igual a 1.