Cuidado no uso do computador!

Luís Cláudio Lopes de Araújo
UniCEUB − Brasília
luisclaudio.mat@gmail.com

Hoje em dia o computador está sendo cada vez mais usado por nossos alunos, até mesmo em sala de aula. Com o recurso visual, é comum os estudantes se convencerem da veracidade, ou não, de certos resultados apenas com base no que se vê na tela. O computador tem virtudes, mas devemos tomar cuidado. Neste artigo mostraremos alguns exemplos de situações em que o computador pode nos levar a conclusões falsas.

O gráfico da função y = e−x + x intercepta a reta y = x?

Uma aluna que estava procurando assíntotas da função y = e−x + x encontrou o resultado correto, y = x, e perguntoume se o gráfico da função interceptava o gráfico da reta. Eu disse que não e ela respondeu que o GeoGebra (ver RPM 67 e RPM 68) estava dando resposta afirmativa. Então fui com ela ao computador e entrei, no Campo de Entrada, com os seguintes comandos:

O software "disse" que essas curvas possuem uma interseção no ponto (34,7739; 34,7739). A figura a seguir mostra a Janela de Álgebra do GeoGebra 3.2 em que o ponto A é considerado como interseção entre as duas curvas.

Obviamente, a equação e−x + x = x não possui solução real, pois caso contrário teríamos e−x = 0 para algum x real, o que não ocorre. Por que o software acusa interseção? Na verdade, neste exemplo, ele está programado para trabalhar com 15 casas após a vírgula. Como a função e−x tende a zero rapidamente, o número de casas com valor nulo ultrapassa as 15 com as quais ele está trabalhando, e assim ele "pensa" que as curvas se encontram. Observamos que, já para x = 35, temos e−35 = 6,3051167601469892 × 10−16.

Visualizando a soma dos termos da PG:

Outro exemplo usando exponenciais consiste em visualizar as somas parciais da série geométrica (PG infinita)

Desta vez usaremos um outro software, para mostrar que o problema não é de um software em particular, mas sim do próprio computador, que usa um número finito de casas decimais. Para isso escrevemos um pequeno programa exibindo as somas parciais da série. O algoritmo está pronto para ser executado no software VisuALG (livre), que pode ser obtido em http://www.baixaki.com.br/download/visualg.htm e está ilustrado a seguir.

algoritmo "Soma PG"
var
k,n: inteiro
an,sn : real
inicio
escreva ("Escreva qual o número de termos quer adicionar:")
leia(k)
n<-1
sn<-0
para n de 1 ate k faca
an<-1/2^n
sn<-(sn+an)
escreval("s_",n,"=",sn)
fimpara
fimalgoritmo

Para executar o programa, salve o algoritmo em algum lugar de seu computador e aperte a tecla F9 para compilar. Feito isso, ele perguntará quantos termos da série serão exibidos. Entre com 55 termos, por exemplo, e veja o que ele retorna. A partir do termo 51 ele já retorna 1 e daí para frente apenas 1.

Supondo correta a resposta do computador, conclui-se que a soma 1 é obtida com 51 parcelas, o que não é verdade. O número 1 é o limite da soma, ou seja, a soma tende para 1 se n fica muito grande. Se esse mesmo programa for feito em linguagem C, já com 26 parcelas a soma assumirá o valor 1.

Uma ilustração no GeoGebra pode ser vista na figura a seguir e pode ser vista de forma dinâmica em http://www.geogebra.com.br/rpm/seriegeometrica2n.html

Na notação (n, Sn), o segundo número (ordenada) mostra o valor da soma e o primeiro mostra quantos termos estão sendo adicionados.

Outra série curiosa

É muito comum o uso de softwares para "confirmar" teses. Os usuários que se valem desse recurso, em geral se esquecem de que nada garante que um comportamento observado no computador não sofra mudanças bruscas a partir de um certo (incerto) ponto. Para exemplificar essa situação, consideremos a soma (caso exista) da série

Um estudante com uma calculadora científica poderia calcular a soma parcial de 50 termos e encontraria algo próximo de 4,7986. Calculando a soma de 150 termos, encontrará S150 = 4,8064. Se chegar até 354 parcelas, encontrará S354 = 4,8074.

E aí pode pensar: a série converge para um número próximo de 4,80, pois a soma já está praticamente estabilizada. Mas, adicionando-se apenas mais um termo, a soma passa a ser 29,4056. Aumenta de 4,8074 para 29,4056!

A figura a seguir ilustra essas somas da referida série. Essa construção pode ser encontrada de forma dinâmica em http://www.geogebra.com.br/rpm/seriemisterio.html

Essa análise sugere a seguinte pergunta: esse fenômeno ocorrerá novamente com o acréscimo de mais termos à soma? Segundo Thomas [3], que cita Pickover [2], essas perguntas não têm respostas até a data da publicação do livro.

A mensagem que pretendemos passar com os exemplos apresentados é que, embora o computador seja uma ferramenta muito útil e seu uso deva ser enfatizado, devemos também ser cuidadosos na interpretação dos resultados oferecidos por ele.

Referências

[1] ARAÚJO, Luís Cláudio L. GeoGebra, um bom software livre. RPM 67.
[2] PICKOVER, Clifford, A. Mazes for the mind, Nova York: St. Martin's Press, 1992, cap. 72.
[3] THOMAS, George B. Cálculo, vol. 2. 10 Edição, Addison Wesley, p. 43.