Há uns dez anos atrás, um aluno, cujo nome infelizmente não recordo, apareceu na escola com algumas peças de seu artesanato. Trabalhando com madeira, pregos e linhas de várias cores, ele compunha paisagens, figuras humanas e motivos geométricos. Lembro-me de um Cristo na Cruz, que me impressionou bastante. Foi a primeira vez que vi esse tipo de artesanato. Depois disso vi muitos outros trabalhos na mesma linha (sem trocadilho!).

Certo dia, folheando um livro, vi o desenho de um decágono regular e suas 35 diagonais:

A figura, que parece um bordado, me trouxe à lembrança o artesanato de meu ex-aluno. As duas coisas cruzaram-se e veio a idéia de juntar o artesanato com a Matemática. Antes de fazer a proposta aos alunos, resolvi brincar um pouco. E aí tive a companhia dos filhos. Brincando, fui descobrindo coisas interessantes. Trabalhando com os alunos foram aparecendo idéias mais interessantes ainda. Apresentei essas idéias a diversos colegas professores, em diferentes cursos e eles contribuíram com novos problemas, novas situações e novas idéias. Esse relato tem portanto muitos autores. Posteriormente vim a descobrir que não há nada de original nessas idéias. Elas são apresentadas em publicações antigas e já foram exploradas por muitas outras pessoas.

Entretanto, a ausência de originalidade, em nada diminuiu o prazer da descoberta (ou re-descoberta).

Tenho proposto essa atividade aos alunos na forma de um jogo. Apresento-a também como uma atividade artesanal envolvida com a Matemática.

Os materiais necessários são: um pedaço de madeira, de forma quadrada, com aproximadamente 30 cm de lado; de 15 a 24 pregos com cabeça, de comprimento aproximado 15 mm; um rolo de tinha de qualquer cor, para construir as diagonais e uns 3 m de linha de outra cor para representar os lados do polígono. Convém usar uma linha resistente. São necessários ainda um martelo e instrumentos de desenho: compasso, transferidor e régua.

O primeiro passo é desenhar sobre a tábua um polígono regular de n lados. É preciso que, numa mesma classe, apareçam polígonos com diferentes números de lados. Para isso estipulo que, para cada aluno: n = 15 + algarismo das unidades do dia do seu aniversário. (Por exemplo, para os alunos que aniversariam nos dias 7, 17 ou 27 temos n = 15 + 7 = 22). Com esse critério resulta: 15 n 24 e, em geral, numa classe com cerca de 30 alunos, temos 10 polígonos diferentes. Essa variedade é importante, como você perceberá mais adiante.

Para desenhar o polígono o aluno começa desenhando uma circunferência com aproximadamente 10 cm de raio. A seguir divide-a em n partes iguais, desenhando ângulos desenhamos um ângulo central com 15º e o outro com 16º, alternadamente. Pequenas aproximações não prejudicam a estética desse artesanato.

Tendo dividido a circunferência em n partes iguais, nos pontos de divisão, o aluno fixa os pregos. É importante que esses fiquem bem firmes. Se depois um deles se soltar, o trabalho estará perdido.

O passo seguinte é construir, com a linha, as diagonais do polígono. Nesse momento apresento as quatro regras do jogo.

1.ª Regra: é preciso construir todas as diagonais do polígono. Se ficar faltando alguma, não valeu.

2.ª Regra: lado não é diagonal e por isso, quando estiver construindo as diagonais, não é permitido passar a linha de um prego para um de seus vizinhos.

3.ª  Regra: não vale construir a mesma diagonal duas vezes, isto é, não vale ir e vir pelo mesmo caminho.

4.ª Regra: também não vale, num dado momento, amarrar a linha num prego, cortá-la, amarrá-la novamente em outro prego, e prosseguir com o trabalho. A linha só pode ser cortada quando a última diagonal tiver sido construída.

Agora, mãos à obra. Amarre a linha num prego qualquer e comece. Antes de prosseguir a leitura desse artigo você não gostaria de executar essas idéias? Posso lhe garantir que vale a pena!

Algumas observações:

1. Dependendo das circunstâncias, peço aos alunos que preparem, em casa, a tábua com o polígono regular desenhado sobre ela e os pregos já fixados também. Com isso, evita-se uma barulheira danada!

2. Essas idéias podem ser trabalhadas só com material de desenho, sem a madeira, os pregos, a linha e o martelo. Isso facilita as coisas por um lado mas cria algumas dificuldades, como veremos logo mais. Além disso, sem pregos e linha, desaparece o artesanato...

Passo a relatar algumas das observações que faço, quando os alunos iniciam a construção das diagonais com a linha.

Alguns se põem a construí-la sem um critério definido. Puxam a linha de um prego a outro qualquer e deste a um outro caoticamente, sem qualquer preocupação com rotina, lei de formação ou tática de construção. Logo percebem que assim não dá. São muitas diagonais e daí a pouco estão perdidos, sem saber o que já está feito e o que falta fazer. Desmancham tudo e começam novamente.

Outros alunos, desde o início, preocupam-se em fazer as construções seguindo alguma regra, alguma lei de formação. Alguns optam por esgotar as diagonais que partem de um certo vértice e também acabam desistindo.

No fim de pouco tempo, a maioria dos alunos chega à seguinte regra de construção: partindo de um primeiro prego (aquele em que ele amarrou a linha) e caminhando sempre num mesmo sentido, constrói-se a menor diagonal, que não foi construída ainda. Assim por exemplo, se n = 18, passa-se a linha de um prego a outro, nessa seqüência: 1-3-5-7-9-11-13-15-17-1, e esta­mos de volta ao prego 1. Como a diagonal 1-3 já está construída, vai-se de 1 a 4. Em 4, a menor diagonal ainda não construída é 4-6. a seqüência agora, então é: 4-6-8-10-12-14-16-18-24.

Com as construções realizadas, todas as diagonais menores desse polígono estio prontas. Essas diagonais menores são obtidas pulando-se um só vértice.

Prosseguindo, a seqüência é: 4-7-10-13-16-1-5-8-11-etc.

Mais algumas observações

3. A tática que estamos apresentando não é exclusiva. É possível construir as diagonais do polígono por outros caminhos. Entretanto, razões estéticas recomendam a construção descrita. O bordado resultante apresentará um bonito relevo.

4. Nesse processo todo, é importante poder errar, voltar atrás, tentar outro caminho, poder desmanchar e começar de novo.  É bem menos trabalhoso fazer isso com a linha do que desenhando: Se necessário, leia novamente a observação 2.

5. É preciso estar atento, percorrendo a classe. Alguns alunos se esquecem das regras do jogo e passam pela mesma diagonal duas vezes, ou ligam um prego a seu vizinho.

Uma das regras do jogo estabelece que todas as diagonais precisam ser construídas. Inevitavelmente aparece a pergunta:

— Professor, como sei que já fiz todas?

— Descubra um jeito!

Espontaneamente ou, quando necessário, conduzidos pelo professor, a maior parte dos alunos acaba percebendo que, se por exemplo, n = 20, de cada prego devem partir 17 diagonais. Nem sempre generalizam esse resultado com facilidade, concluindo que o número de diagonais que partem de cada vértice é igual a n - 3. Mas, devagar, chegam a essa conclusão.

Depois de algum tempo, alguns alunos comunicam que completaram o trabalho, enquanto outros reclamam porque não conseguem completar a obra. Chegam a um prego e não têm como continuar: todas as n - 3 diagonais que partem dele estão construídas, e ainda existem diagonais a serem construídas! Voltam atrás, desmancham parte do trabalho, seguem por outro caminho e, não demora muito, estão novamente num beco sem saída.

Criado o clima, faço um levantamento da situação, perguntando o número de lados que tem o polígono de cada um dos que conseguiram terminar e o daqueles que não estão conseguindo. No primeiro grupo aparecem 19, 23, 15 etc., e, no segundo, 20, 22, 16, etc. Às vezes nem é preciso dirigir muito. Alguns percebem essas coisas sozinhos e a notícia corre pela classe.

Nesse ponto é natural que todos se perguntem: por que é que se n é ímpar a brincadeira dá certo e quando par, não?

Custa um pouco para que todos entendam o que está acontecendo, mas devagar, e com ajuda do professor, chegam lá.

Se n é par, o número de diagonais que partem de cada vértice, que é n - 3, é ímpar. Vamos pensar assim: quando nos dirigimos a um determinado prego, pela primeira vez, chegamos e partimos, construindo 2 diagonais. Quando voltamos a ele construímos mais 2 (já são 4 diagonais). E assim por diante, o número de diagonais construídas vai aumentando de 2 em
2 : 6, 8, 10, etc. Como n - 3 é ímpar, haverá um momento em que só uma diagonal estará faltando. Quando voltarmos a esse prego a última diagonal será construída, sem que se possa sair dele, respeitando as regras do jogo. E não adianta desmanchar e procurar outro caminho. Em algum prego isso acontecerá necessariamente.

Moral da história: o jogo proposto e impossível quando n é par!

Veja bem: o jogo é impossível, o artesanato não.

Desrespeitando uma das regras do jogo, é possível completar a construção das diagonais. Pode-se, por exemplo, amarrar a linha no prego, dar o nó, cortá-la, amarrá-la num outro e prosseguir, até que nova impossibilidade apareça. Repete-se o processo até construir todas as diagonais.

Para finalizar o trabalho, com o outro fio de linha, os alunos constroem os lados do polígono regular.

O artesanato terminou, mas a Matemática envolvida nele, mal começou!

Mas antes de propor novos problemas vale a pena explorar um pouco mais o que já foi feito.

Quando n é ímpar, o número de diagonais que partem de cada vértice, é par. Desaparece então a impossibilidade verificada quando n é par. Vamos fixar atenção no prego em que amarramos a linha para começar a construção. Na seqüência, o número de diagonais construídas, que partem dele, é: 1, 3, 5, 7, etc. É só no vértice de partida que isto acontece. Nos demais, a seqüência é: 2, 4, 6, 8, etc. Isso permite concluir que a última diagonal deve terminar justamente onde começou a primeira! É gostoso ver nos alunos, para os quais n é ímpar, a reação a essa conclusão:

— É mesmo, isso aconteceu com o meu trabalho!

Durante esse processo, os alunos perceberam que o número de diagonais que partem de cada vértice é igual a n - 3. Pergunto a eles:

— Quantas diagonais tem o seu polígono?

Cada um faz as contas para o seu caso particular. Nem todos percebem a necessidade da divisão por 2: ao multiplicarem n por n - 3, contaram cada diagonal duas vezes.

Para que percebam o erro, basta sugerir que façam o mesmo raciocínio para um quadrado ou pentágono. Enfim, raciocinando com base na atividade desenvolvida, errando, percebendo contradições, acabam chegando ao resultado geral:

onde d é o número de diagonais do polígono.

Na construção que fizeram, com prego e linha, desenharam um polígono regular (razões estéticas!). Vale a pena perguntar:

— A fórmula obtida vale para um polígono convexo não regular?

Peço aos alunos que observem os diferentes trabalhos. Em alguns deles, no centro da figura aparece uma “rodelinha”, um núcleo vazio. Em outras isso não ocorre. Qual a explicação, por que isto acontece?

Logo percebem que, quando n é par existem vértices simétricos em relação ao centro e por isso algumas diagonais são diâmetros, passam pelo centro. Quando n é ímpar, nenhuma diagonal é diâmetro. Daí a “rodelinha”.

Outros problemas: quando n é par quantas são as diagonais que passam pelo centro? Quando n é ímpar, quantas são as diagonais mais próximas do centro?

Agora uma outra questão um pouco mais exigente: isso que estamos chamando de “rodelinha”, é, na verdade, um polígono. Demonstre que ele é regular e tem também n lados.

E mais problemas

O artesanato construído pelos alunos é uma arte de linhas retas e entretanto vemos ali uma série de “circunferências” concêntricas. Observe bem as duas últimas figuras. Na verdade essas “circunferências” são polígonos regulares com muitos lados. Mas podemos pensar nas circunferências inscritas nesses polígonos. A simples observação dos bordados dá a impressão de que o espaça­mento entre essas circunferências é constante. Com outras palavras, a sensação visual é de que os raios dessas circunferências parecem formar uma progressão aritmética. Será isto verdadeiro?

Como você vê, soltando a imaginação, a gente vai longe...

Como já disse, essa é uma arte de linhas retas. Quantos segmentos de reta há em cada um

Quantos triângulos podemos visualizar naquele emaranhado de linhas? E quantos quadriláteros, pentágonos, etc.? E quantos polígonos podem ser vistos ali?

Mais algumas observações

6. Como você vê o tema é rico, podendo ser explorado em diferentes níveis, com diferentes graus de profundidade. Tenho trabalhado com ele no 2.º grau. Outros colegas o exploram no 1.º grau: é preciso apenas alguma sensibilidade para perceber até onde é possível avançar.

7. Aqui foram propostos alguns problemas Outros ainda poderiam ser apresentados, dentro do mesmo tema. Gostaríamos entretanto, que os colegas leitores da Revista nos escrevessem propondo outros problemas, motivados a partir do artesanato aqui construído. Pensem ainda em outras ligações desse tema com outros campos da Matemática.

Em 1982, quando nascia a Revista do Professor de Matemática, na Seção “Para que serve”, preocupada em apresentar as aplicações da Matemática, escrevemos o seguinte:

“...vivemos num mundo extremamente utilitarista, onde as coisas têm sempre que servir a um fim material especifico. No entanto, o homem continua gostando de fazer certas coisas que não têm utilidade imediata, no sentido utilitarista do termo. A arte é um exemplo disto.”

Às vezes, na Matemática, estudamos certos assuntos, resolvemos certos problemas, simplesmente com a intenção de vencer desafios, brincar com a Matemática, divertir-nos com ela. Esta dimensão também deve ser mostrada ao aluno: é possível sentir prazer brincando com a Matemática”.

Penso que o artesanato construído com pregos e linha, e os problemas criados a partir dele, revelam com bastante força a fecundidade de um casamento entre Matemática e Arte!