Prof.ª Anamaria Gomide Taube
Com a colaboração da
Profa. Liliane de Almeida Maia
Depto. de Matemática - UnB

  Recentemente fui abordada pelo meu filho Gustavo, 9 anos, que ora inicia seus estudos na 4.ª série do 1.º grau, com a seguinte questão que lhe havia sido encomendada como tarefa de casa pela professora. Esta solicitava que o aluno atribuísse um “sim’’ ou ‘‘não” ao enunciado: ‘‘A operação de subtração, no conjunto dos números naturais, possui a propriedade de fechamento”.

Primeiramente fez-se necessário esclarecer o conceito de fechamento de um conjunto com relação a uma operação. Exemplifiquei dizendo que quando somamos dois números naturais obtemos um terceiro número natural como resultado daquela operação e portanto este conjunto é fechado para a adição. Foi então que fui surpreendida com a observação da criança: “mas mamãe, poderia dar outra coisa?” Naquele momento compreendi que o problema não estava somente na falta de compreensão do novo conceito, mas principalmente na inexistência de expectativa para um aluno da 4.ª série com respeito a outros números que não os naturais, já que até aquele ponto ele nada sabia sobre números inteiros. Também não me pareceu lógico explicar o não fechamento do conjunto com relação à operação de subtração em cima de uma situação que a seu ver nunca existiria. Como justificar, que, por exemplo, 2 - 5 não é um número natural se, para ele, realizar a subtração    2 - 5 é um procedimento impossível. Na verdade tornava-se evidente um impasse advindo da própria conceituação de operação, no caso, binária.

Uma operação binária sobre um conjunto A é uma função do produto cartesiano A x A em A. Conclui-se que para todo par ordenado (a, b) em A x A, existe um e somente um elemento de A associado ao par através dessa aplicação. Neste caso, não faz sentido falar do fechamento do conjunto A em relação à operação pois esta deve poder ser efetuada sobre quaisquer dois elementos do conjunto dando como resultado necessariamente um elemento do conjunto. No entanto a propriedade do fechamento pode ser definida e verificada em subconjuntos de A. Podemos considerar um subconjunto S, não vazio, de A e a mesma operação binária definida em A e induzida sobre S. Efetuando a operação entre dois elementos quaisquer de S existem duas possibilidades:

1. O resultado da operação é sempre um elemento de S. Neste caso dizemos que S é fechado para aquela operação;

2. Para algum par de elementos de S o resultado da operação não é um elemento de S (embora pertença a A). Neste caso dizemos que S não é fechado para aquela operação.

A compreensão, segundo este ponto de vista, do não fechamento da subtração requer o conhecimento do conjunto de números inteiros. A subtração no conjunto dos números naturais não é uma operação, mas sim uma propriedade da adição: “Dados a e b N com a b existe um único c N tal que a = b + c”^. c é a diferença entre a e b e escreve-se c=ab.

Conclui-se, portanto, que o problema é conceitual, exigindo grande rigidez e formalização. Não é de se esperar que uma criança antes de completar a primeira década de vivência e aprendizagem esteja preparada e amadurecida para analisar, refletir, e compreender situações de tamanha abstração.

Cabe a nós, professores e pais, tentarmos estar sempre atentos para a forma de raciocínio objetivo, concreto e cristalino de nossas crianças. Antes que lhes sejam impingidas e cobradas listas de propriedades a respeito de um conceito novo, é imprescindível que lhes sejam fornecidos materiais em exemplos e exercícios e os mais diversos subsídios, para que, estimuladas pela curiosidade, percebam a existência de um universo bem maior do que aquele conhecido por elas. Depois elas mesmas irão deduzindo propriedades e tirando suas próprias conclusões. Tudo isso feito a seu tempo, caminhando sem atropelos, como os bois na frente da carroça, que lentamente efetuam o seu trabalho e atingem o seu objetivo.