Já os Babilônios desenvolveram questões aritméticas e era notável sua familiaridade com as propriedades dos números. E difícil determinar as origens dessa faceta da civilização babilônia mas é conhecido que, por volta de 1800 A.C., alguns métodos de resolução da equação do 2º grau eram utilizados enquanto os egípcios, na mesma época, possuíam apenas métodos de resolução de equações do 1º grau.

Um problema fundamental da antiga Álgebra Babilônia era saber que número adicionado ao seu recíproco daria um determinado número. Em notação moderna, os babilônios procuravam x tal

Essa equação leva-nos a uma equação quadrática em x, a saber x² - bx + 1 = 0. Procurando a solução através do processo de “completar quadrados”, eles calculavam

Os problemas algébricos eram enunciados e resolvidos verbalmente. As palavras us (comprimento), sag (largura) e asa (área) eram freqüentemente utilizadas para as incógnitas, não necessariamente porque as incógnitas representassem essas quantidades geométricas, mas provavelmente porque muitos problemas algébricos eram decorrentes de situações geométricas e a terminologia geométrica se tornou ”standard”. Podemos ter uma idéia de como estes termos eram empregados pelo seguinte texto babilônio:

‘Multipliquei Comprimento e Largura ob­tendo Área 10. O excesso do Comprimento sobre a Largura multiplicou por si mesmo e o resultado por 9 e esta Área é aquela obtida multiplicando o Comprimento por si mesmo. Quais são o Comprimento e a Largura?”

Hoje nós escreveríamos tal problema como:

x.y 10; 9(x - y)² = x²

É fácil ver que tal problema leva a uma equação do quarto grau sem termos em x e x³, podendo então ser resolvida como uma equação quadrática em x². Problemas envolvendo equações do terceiro grau também eram familiares aos babilônios. Um exemplo, em notação moderna seria:

  12x = z, y = x, xyz = V,

onde V é algum volume conhecido.

Os números negativos e complexos entraram para o modelo numérico muito mais tarde, em conexão com os esforços, na Itália, por volta de 1500, para a resolução da equação do terceiro e quarto graus.

Os gregos antigos usavam os métodos das Construções Geométricas para resolver algumas equações do 2º grau e até alguns tipos de equações cúbicas. Dentro dessa linha, os gregos nos legaram os famosos problemas clássicos da “trissecção do ângulo”, da “duplicação do cubo” e da “quadratura do círculo”. A importância desses problemas está no fato de que eles não podem ser resolvidos geometricamente por meio dos instrumentos régua (sem escala) e compasso. Matemáticos de diferentes períodos contribuíram para mostrar a ligação desses problemas com a teoria das equações polinomiais sendo, então, todos respondidos negativamente (RPM n^.º 6, pág. 18).

Os gregos empregaram métodos geométricos, mas, os hindus, no início da era cristã, utilizaram métodos aritméticos na resolução de equações, os quais foram desenvolvidos pelos árabes e um dos mais significativos resultados desse período árabe é, sem dúvida, a solução algébrica geral da equação do 2º grau, cujas raízes são dadas pela fórmula amplamente conhecida.

Apesar de tudo, as resoluções algébricas para as equações cúbicas eram desconhecidas. No final do século XV e início do século XVI os matemáticos italianos, principalmente de Bolonha, descobriram que a solução da equação cúbica poderia ser reduzida àquelas dos seguintes tipos:

x³ + px = q,  x³ = px + q e x³ + q = px (observe que essas distinções são decorrentes do não reconhecimento dos números negativos).

Scipione del Ferro, e mais tarde Niccolo Fontana (conhecido como Tartaglia), descobriram as soluções daquelas equações. Os argumentos de Tartaglia foram divulgados por Gerônimo Cardano (1501-1576) com a publicação do seu Ars Magna, 1545, que também divulgou o método de Ferrari da redução de uma equação do 4^o grau a uma de 3^o grau através de uma expressão radical.

Ora, já que as raízes das equações de grau são 4 são expressões radicais, naturalmente a pergunta que segue é inevitável:

Será que as equações de grau 5 também são resolúveis por meio de expressões radicais?

Muitos matemáticos importantes atacaram o problema. Euler não conseguiu resolvê-lo, porém encontrou novos métodos para a resolução da equação do 4^o grau. Em 1770 Lagrange conseguiu um resultado que iria contribuir bastante para o estudo das equações do 5^o grau. Ele unificou os argumentos nos casos das equações de grau 3 e 4 e mostrou porque tal argumento falhava no caso do grau 5. A partir daí um sentimento de que a resposta para o grau 5 seria negativa tomou corpo entre os pesquisadores da época. Ruffini, em 1813, tentou uma demonstração de tal impossibilidade mas seus argumentos tinham muitas falhas. Finalmente, em 1824, Abel provou que a equação geral de grau 5 não é resolúvel por meio de radicais. Não ficou estabelecido, porém, quando uma equação de grau  5 é ou não “resolúvel por meio de radicais”.

Em 1843 Liouville escreveu para a Academia de Ciências de Paris anunciando que os trabalhos deixados por Evariste Galois (1811-1832) continham uma solução que respondia precisamente quando uma equação de grau  5 é ou não  “resolúvel por meio de radicais”.

A solução apresentada por Galois, ao caracterizar as equações polinomiais resolúveis por meio de radicais, através de propriedades do grupo de automorfismos de um corpo, é considerada uma das principais conquistas da Álgebra no século XIX.

O leitor interessado neste assunto pode consultar, a respeito, a literatura existente sobre a Teoria de Galois, e, em particular, o livro de A. Gonçalves, citado na Bibliografia, apresenta um parágrafo no capítulo VII sobre a solubilidade por meio de radicais.