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realizou-se,
no início de julho, na Finlândia. O Brasil participou com uma equipe de
seis estudantes, dois dos quais receberam um 3o. prêmio. A
participação do Brasil só foi possível graças ao suporte financeiro
de firmas particulares. A Comissão de Olimpíadas da SBM, a SBM e todos
aqueles que lutam pela melhoria do ensino da Matemática no país,
agradecem à CHAMPION, Papel e Celulose do Brasil, ao Banco ITAÚ, à IBM
do Brasil, à BAURÚ Refrigerantes e Cia. Ltda. e ao Colégio IMPACTO, o
apoio recebido. Este
ano, 39 países estiveram representados na Olimpíada, reunindo 210
estudantes. Os dois brasileiros premiados se classificaram na primeira terça
parte dos que talvez sejam os melhores do mundo. Parabéns a estes
estudantes e demais membros da equipe que, apesar de terem iniciado seus
estudos, como milhares de outros, em escolas públicas, conseguiram, com a
ajuda de seus professores de Matemática, atingir um nível de excelência
do qual o Brasil pode orgulhar-se. O Brasil que tanto se orgulha de seus
jovens chutadores de bola e seus técnicos deveria também prestigiar seus
jovens matemáticos em potencial e seus professores. Na
26a. Olimpíada, o país de melhor desempenho foi a Romênia,
cuja equipe fez 201 pontos (em um total de 252 possíveis), seguido dos
Estados Unidos com 189 pontos e a Hungria com 168 pontos. O Brasil ocupou
o 15o. lugar, e teve desempenho melhor do que alguns países
europeus e melhor do que o de todos os países latino-americanos
participantes. A
27a. Olimpíada realizar-se-á, em 1986, na Polônia. A SBM já
iniciou sua luta para obter recursos a fim de preparar e enviar uma equipe
que representará o Brasil naquele evento.
Realizou-se no dia
21 de setembro, com provas em quase todos os estados do Brasil. Os
resultados tornar-se-ão públicos em outubro, não havendo tempo hábil
para incluí-los na RPM 7. (*)[1] Dado
o interesse que os leitores demonstraram pelas questões das seis
primeiras Olimpíadas Brasileiras, oferecidas na RPM 6, publicamos abaixo
a prova de Rio e São Paulo da 7.ª Olimpíada. As três
primeiras questões foram comuns para todos os estados, enquanto que a 4.ª
e a 5.ª foram escolhidas pelos Coordenadores Regionais de um
“banco de questões”.
1)
a) Sejam a, b, c, d inteiros tais que ad ¹
bc. Demonstre que é sempre possível
b)
Encontre a soma
2)
Dados n pontos no plano, demonstre que existem 3 deles que
determinam um ângulo 3)
Um quadrilátero convexo está inscrito em uma circunferência de
raio unitário. Demonstre que a diferença entre seu perímetro e a soma
de suas diagonais é maior do que zero e menor do que 2. 4)
Sejam a, b, c, d inteiros. Demonstre que x2 + ax + b = y2
+ cy + d tem uma infinidade de soluções (x,y), com x e y inteiros, se e
somente se a2 –4b = c2 –4d. 5)
Sejam A e B números reais. Determine uma condição necessária e
suficiente para que Ax + B [x]
= Ay + B [y]
apenas quando x = y. (Obs.: [x]
é inteiro e [x]
A
3.ª questão parece ser a mais difícil e a seção de Olimpíadas
da RPM gostaria de receber e publicar soluções elegantes, enviadas por
leitores. Segundo o autor, problema admite a seguinte generalização: “Se
P1, P2, ..., P2n forem pontos de uma
circunferência de raio R e, se chamarmos dij
a distância entre Pi
e Pj, então
Não
conhecemos ainda uma demonstração deste fato que faça uso apenas de
Matemática Elementar. A seção de Olimpíadas da RPM oferecerá um prêmio
a quem nos enviar, em primeiro lugar, uma demonstração correta e
elementar.
1
- Realizou-se em 15/06/85 a I Olimpíada Capixaba de Matemática que
envolveu 135 estudantes do Espírito Santo. A Olimpíada foi coordenada
pelo professor Luiz Pedro Oroz (Dep. de Matemática da UFES – CEP 29000
Vitória, ES). Um
dos nove problemas da prova foi:
“Encontre todos os inteiros positivos x e y tais que (x + y) (x
– y) = 1985” 2
- Está em andamento a 9.ª Olimpíada de Matemática do Estado
de São Paulo, coordenada pela Academia de Ciências do Estado de São
Paulo (Cx. Postal 22297, CEP 01498, São Paulo, SP). As provas da 2.ª
fase se realizaram no dia 5/10/85 e a final será no dia 13/12. Um
dos problemas da 2a. fase, para alunos de 6.ª série,
dizia “Numa
lição de casa havia um exercício que pedia o quociente e o resto de
muitas divisões. O aluno, com preguiça, resolveu fazer tudo com a
calculadora. Apareceram A
Academia de Ciências do Estado de São Paulo promoverá, em 1986, a 10.ª.
Olimpíada e, por se tratar da 10.ª, planeja fazer dela uma
grande festa com muitos prêmios a serem distribuídos. 3
- A Olimpíada do Rio de Janeiro foi promovida, este ano, pela SBM.
Realizou-se em duas etapas e os classificados na 1.ª etapa
adquiriram o direito de participar da Olimpíada Brasileira. Pedimos novamente notícias sobre Olimpíadas Regionais em andamento ou programadas para 1986, pois queremos divulgar este importante trabalho que tantos colegas anônimos heroicamente realizam.
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divisões e ainda usando a calculadora, saber qual é o quociente e o
resto?”